Question

（16分）如图所示为宇宙中有一个恒星系的示意图，A为该星系的一颗行星，它绕中央恒星O运行轨道近似为圆，天文学家观测得到A行星运动的轨道半径为R₀，周期为T₀。

   

（1）中央恒星O的质量是多大？

（2）长期观测发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t₀时间发生一次最大的偏离，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星B(假设其运行轨道与A在同一平面内，且与A的绕行方向相同)，它对A行星的万有引力引起A轨道的偏离。根据上述现象及假设，你能对未知行星B的运动得到哪些定量的预测。

Answer 1

解析：

（1）设中央恒星质量为M，A行星质量为m，则有:

        ①

解得：            ②

（2）如图所示，由题意可知：A、B相距最近时，B对A的影响最大，且每隔t₀时间相距最近。设B行星周期为T_B，则有：

  

         ③

解得：            ④

该B行星的质量为m′，运动的轨道半径为R_B，则有

 ⑤

由① ④ ⑤可得：