题目内容
18．
如图所示，在正交坐标系Oxyz中，分布着电场和磁场（图中未画出）．在Oyz平面的左方空间内存在沿y轴负方向、磁感应强度大小为B的匀强磁场；在Oyz平面右方、Oxz平面上方的空间内分布着沿z轴负方向、磁感应强度大小也为B匀强磁场；在Oyz平面右方、Oxz平面下方分布着沿y轴正方向的匀强电场．在t=0时刻，一质量为m、电荷量为+q的微粒从P点静止释放，已知P点的坐标为（5a，-2a，0），电场强度大小为$\frac{aq{B}^{2}}{4m}$，不计微粒的重力．求：（1）微粒第一次到达x轴的速度大小v和时刻t1；
（2）微粒第一次到达y轴的坐标和时刻t2；
（3）假设在平面Oyz存在一层特殊物质，使微粒每次经过Oyz平面时，速度大小总变为原来的$\frac{1}{2}$，求在时刻t3=t2+$\frac{9πm}{2qB}$时，电荷所在位置的坐标．
分析 （1）在电场中微粒做匀加速直线运动，根据动能定理求出微粒第一次到达x轴的速度大小v，由位移时间公式求解运动的时间．
（2）画出粒子微粒运动的轨迹．根据洛伦兹力充当向心力，列式求出轨迹半径，由几何关系求微粒第一次到达y轴的坐标．由周期求时间．
（3）粒子运动过程中速度始终与所在位置的磁场垂直，粒子刚好在oyz平面左右空间各运动半个周期后交替运动，粒子速度改变后在磁场中运动的周期不变，根据分析可知，微粒在oyz平面左方运动的轨迹为两个半圆和四分之一圆，在oyz平面右方运动的轨迹为两个半圆，分别穿过oyz平面5次．由几何知识求电荷的坐标．
解答 解：（1）在电场中微粒做匀加速直线运动，由题意E=$\frac{aq{B}^{2}}{4m}$
由动能定理得：qE•2a=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：v=$\frac{aqB}{m}$
由$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}•{t}_{1}^{2}$=2a
得：t1=$\frac{4m}{qB}$
（2）当微粒在磁场中运动时，轨迹如下图所示．
假设运动的轨道半径为R，
有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得 R=a
所以微粒到达y轴的坐标为（0，a，0）
磁场运动的周期 T=$\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}$
则运动到达y轴的时刻 t2=5t1+$\frac{5}{4}T$
解得：t2=（$\frac{40+5π}{2}$）$\frac{m}{qB}$
（3）粒子运动过程中速度始终与所在位置的磁场垂直，粒子刚好在oyz平面左右空间各运动半个周期后交替运动，因为：t3-t2=$\frac{9}{4}$T
且粒子速度改变后在磁场中运动的周期不变，根据分析可知，微粒在oyz平面左方运动的轨迹为两个半圆和四分之一圆，在oyz平面右方运动的轨迹为两个半圆．分别穿过oyz平面5次．所以：
x轴坐标为：x=-（$\frac{1}{2}$）5a=-$\frac{1}{32}$a
y轴坐标为：y=a+（$\frac{1}{2}$）2a×2+（$\frac{1}{2}$）4a×2=$\frac{13}{8}$a
z轴坐标为：z=（$\frac{1}{2}$）a×2+（$\frac{1}{2}$）3a×2+（$\frac{1}{2}$）5a=$\frac{41}{32}$a
因此t3时刻的坐标为（-$\frac{1}{32}$a，$\frac{13}{8}$a，$\frac{41}{32}$a）．
答：（1）微粒第一次到达x轴的速度大小v为$\frac{aqB}{m}$，时刻t1=$\frac{4m}{qB}$；
（2）微粒第一次到达y轴的坐标为（0，a，0），时刻t2为（$\frac{40+5π}{2}$）$\frac{m}{qB}$；
（3）假设在平面Oyz存在一层特殊物质，使微粒每次经过Oyz平面时，速度大小总变为原来的$\frac{1}{2}$，求在时刻t3=t2+$\frac{9πm}{2qB}$时，电荷所在位置的坐标为（-$\frac{1}{32}$a，$\frac{13}{8}$a，$\frac{41}{32}$a）．
点评 本题考查了粒子在电磁场、在电场中的运动，关键要分析清楚粒子运动过程，画出粒子的运动轨迹，要有空间想象能力，并能应用动能定理、牛顿第二定律、运动学公式等力学规律解答．
口算能手系列答案
如图所示，半径为R=2cm的光滑半圆弧轨道与高为H=20cm的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡．在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压，处于静止状态．先后释放两个小球，a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最高点B．已知a球质量为m1=2kg，b球质量为m2=3kg，重力加速度为g=10m/s2．求：
如图所示，由轻杆组成的Z形装置ABCDE可绕竖直轴BC转动，质量均为m=1kg的甲、乙两小球与两细线连接后分别系于A、G和B、E处，细线BF长l1=0.5m，EF的长度大于BF的长度，AH、GH长均为l2=0.4m．装置 静止时，细线BF与竖直方向的夹角θ=37°，细线HG、EF水平，细线AH竖直，已知g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
如图，在区域Ⅰ（即y≥0）和区域Ⅱ（即y＜0）内分别存在匀强磁场，磁场方向相同且垂直于Oxy平面，区域Ⅰ磁场的磁感应强度是区域Ⅱ磁场感应强度的2倍，一带电粒子某时刻从y轴的A点以速度v斜射入磁场，在磁场中顺时针偏转后在y轴的B点射出，射出时速度的方向与y轴垂直．已知A点、B点到O点的距离均为d．不计粒子重力
“蛟龙号”是我国首台自主研制的作业型深海载人潜水器，如图所示，它是目前世界上下潜能力最强的潜水器．假设某次海试活动中，“蛟龙号”完成海底任务后竖直上浮，从上浮速度为v时开始计时，此后“蛟龙号”匀减速上浮，经过时间t上浮到海面，速度恰好减为零，则“蛟龙号”在t0（t0＜t）时刻距离海平面的深度为（ ）| A． | $\frac{v（t-{t}_{0}）^2}{2t}$ | B． | $\frac{v{t}_{0}^{2}}{2t}$ | C． | $\frac{vt}{2}$ | D． | vt0（1-$\frac{{t}_{0}}{2t}$） |
如图所示的矩形区域ABCD，一个电子（重力不计）由A沿着AB边方向以初速度v0射入，若在整个矩形区域内第一次只加上平行于AD边的匀强电场，第二次只加上垂直矩形平面匀强磁场，两次电子刚好都从C点射出，比较两次穿越过程，正确的是（ ）| A． | 射出时间的速度第一次大 | B． | 速度偏向角第二次大 | ||
| C． | 通过的时间两次相等 | D． | 通过的时间第一次大 |
a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个梯形的四个顶点，梯形的下底边长是上底边长的3倍，电场线与梯形所在平面平行，已知a点的电势为20V，b点的电势为24V，d点的电势为4V，则c点的电势为（ ）| A． | 8V | B． | 12V | C． | 16V | D． | 20V |
如图所示，有三个斜面1、2、3，斜面1与2底边相同，斜面2和3高度相同，同一物体与三个斜面的动摩擦因数相同，若物体分别沿三个斜面从顶端由静止下滑到底端时，三种情况下物体（ ）| A． | 到达斜面底端时的速度v1＞v2=v3 | |
| B． | 到达斜面底端时重力的瞬时功率P1＞P2=P3 | |
| C． | 到达斜面底端时重力做的功W1＞W2=W3 | |
| D． | 摩擦产生的热量Q1=Q2＜Q3 |