Question

19．如图（甲）所示，在直角坐标系0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，右侧有一个以点（3L，0）为圆心、半径为L的圆形区域，圆形区域与x轴的交点分别为M、N．现有一质量为m，带电量为e的电子，从y轴上的A点以速度v₀沿x轴正方向射入电场，飞出电场后从M点进入圆形区域，速度方向与x轴夹角为30°．此时在圆形区域加如图（乙）所示周期性变化的磁场（磁场从t=0时刻开始变化，且以垂直于纸面向外为磁场正方向），最后电子运动一段时间后从N点飞出，速度方向与x轴夹角也为30°．求：

（1）电子进入圆形磁场区域时的速度大小（请作出电子飞行的轨迹图）；
（2）0≤x≤L区域内匀强电场场强E的大小；
（3）写出圆形磁场区域磁感应强度B₀的大小、磁场变化周期T各应满足的表达式．

Answer 1

分析 （1）电子在电场中作类平抛运动，离开电场时电子的速度方向与x轴夹角30°，$\frac{{v}_{0}}{v}$=cos30°，可求得电子进入圆形区域时的速度v．
（2）运用运动的分解法研究可知：电子竖直方向上做初速度为零的匀加速运动，v_y=v₀tan30°=at=$\frac{eE}{m}$t，水平方向t=$\frac{L}{{v}_{0}}$，联立可求出E．
（3）在磁场变化的半个周期内电子的偏转角为60°，由几何知识得到在磁场变化的半个周期内，粒子在x轴方向上的位移等于电子的轨迹半径R，由题意，粒子到达N点而且速度符合要求的空间条件是：$\overline{MN}$=n•R=2L，由牛顿第二定律得到半径R=$\frac{mv}{e{B}_{0}}$，联立得到磁感应强度B₀的大小表达式．电子在磁场变化的半个周期恰好转过$\frac{1}{6}$圆周，同时MN间运动时间是磁场变化半周期的整数倍时，可使粒子到达N点并且速度满足题设要求，应满足的时间条件：$\frac{T}{2}$=$\frac{{T}_{运}}{6}$，而T=$\frac{2πm}{e{B}_{0}}$，可求得T的表达式．

解答 解：（1）电子在电场中作类平抛运动，射出电场时，
由速度关系：$\frac{{v}_{0}}{v}$=cos30°
解得：v=$\frac{2}{3}\sqrt{3}{v}_{0}$
轨迹如图所示：
（2）由速度关系得 v_y=v₀•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$v₀
在竖直方向 a=$\frac{eE}{m}$   v_y=at=$\frac{eE}{m}$•$\frac{L}{{v}_{0}}$
解得 E=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{3eL}$
（3）如图所示，在磁场变化的半个周期内粒子的偏转角为60°，所以，在磁场变化的半个周期内，粒子在x轴方向上的位移等于R．粒子到达N点而且速度符合要求的空间条件是：
$\overline{MN}$=n•R=2L
电子在磁场作圆周运动的轨道半径 R=$\frac{mv}{e{B}_{0}}$=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{e{B}_{0}}$
得 B₀=$\frac{n\sqrt{3}m{v}_{0}}{3eL}$（n=1，2，3…）
若粒子在磁场变化的半个周期恰好转过$\frac{1}{6}$圆周，同时MN间运动时间是磁场变化半周期的整数倍时，可使粒子到达N点并且速度满足题设要求．应满足的时间条件：$\frac{T}{2}$=$\frac{{T}_{运}}{6}$   T=$\frac{1}{3}$T_运=$\frac{2πm}{3{B}_{0}e}$
代入T的表达式得：T=$\frac{2\sqrt{3}πL}{3n{v}_{0}}$（n=1，2，3…）
答：（1）电子进入圆形区域时的速度大小是$\frac{2}{3}\sqrt{3}{v}_{0}$，轨迹如图所示；
（2）0≤x≤L区域内匀强电场的场强大小是$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{3eL}$；
（3）写出圆形区域磁场的变化周期表达式为T=$\frac{2\sqrt{3}πL}{3n{v}_{0}}$（n=1，2，3…）、磁感应强度B₀的大小表达式是得 B₀=$\frac{n\sqrt{3}m{v}_{0}}{3eL}$（n=1，2，3…）．

点评 本题关键是将粒子的运动沿着水平方向和竖直方向正交分解，然后根据牛顿运动定律和运动学公式列式分析求解；解题过程中要画出轨迹图分析，特别是第三小题，要抓住周期性，根据几何关系求解电子的半径满足的条件．