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8．用量子技术生产十字元件时用到了图甲中的装置：四个挨得很近的圆是半径均为R的光滑绝缘圆柱体的横截面，它们形成四个非常细窄的狭缝a、b、c、d和一个类十字空腔，圆柱和空腔所在的区域均存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B的大小可调节．质量为m、电荷量为q、速度为v的带正电离子，从狭缝a处射入空腔内，速度方向在纸面内且与两圆相切．设离子在空腔内与圆柱体最多只发生一次碰撞，碰撞时间极短且速度大小不变；速度方向的改变遵循光的反射定律．
（1）若B的大小调节为$\frac{mv}{qR}$，离子从何处离开空腔？并求出它在磁场中运动的时间t；
（2）为使离子从狭缝d处离开空腔，B应调至多大？
（3）当从狭缝d处射出的离子垂直极板从A孔进入由平行金属板M、N构成的接收器时，两板间立即加上图乙所示变化周期为T的电压，则U0为多大时，该离子将不会从B孔射出？两板相距L（L＞vT），板间可视为匀强电场．

分析 （1）先求得离子做圆周运动的半径及周期，再通过几何关系即可求得出射点及中心角，进而求得运动时间；
（2）根据几何关系求得离子做圆周运动的半径，进而由洛伦兹力作向心力求得磁感应强度；
（3）通过离子不会从B孔射出，得到离子在一个周期内的位移为零，进而得到速度和周期、加速度的关系式，则可求解U0．

解答 解：（1）离子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力作向心力，所以有$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{r}$，所以，$r=\frac{mv}{Bq}=R$，
粒子做圆周运动的周期$T'=\frac{2πr}{v}=\frac{2πR}{v}$；
由于离子在a点向上偏转，则离子从狭缝b离开空腔，它在磁场在运动的时间$t=\frac{1}{4}T'=\frac{πR}{2v}$；
（2）因为离子在a点的圆心位于a点的上方，又有离子在空腔内与圆柱体最多只发生一次碰撞，碰撞时间极短且速度大小不变；速度方向的改变遵循光的反射定律，
所以，粒子必与圆柱体碰撞一次，且碰撞位置在狭缝a，d的垂直平分线上，则如图所示，

则有r2=（r-R+Rcos45°）2+（R+R-Rsin45°）2；
所以，r=3R；又有$r=\frac{mv}{B'q}$，所以，$B'=\frac{mv}{qr}=\frac{mv}{3qR}$；
（3）两板间立即加上图乙所示变化周期为T的电压，则粒子速度变化如图所示，
，
那么要是离子不从B孔射出，则$v-\frac{q{U}_{0}}{mL}•\frac{T}{2}=-v$，所以，${U}_{0}=\frac{2v•2mL}{qT}=\frac{4mLv}{qT}$．
答：（1）若B的大小调节为$\frac{mv}{qR}$，离子从狭缝b离开空腔，它在磁场中运动的时间t为$\frac{πR}{2v}$；
（2）为使离子从狭缝d处离开空腔，B应调至$\frac{mv}{3qR}$；
（3）当从狭缝d处射出的离子垂直极板从A孔进入由平行金属板M、N构成的接收器时，两板间立即加上图乙所示变化周期为T的电压，则U0为$\frac{4mLv}{qT}$时，该离子将不会从B孔射出．

点评 带电粒子在磁场中的运动问题，通常根据入射点和出射点，应用几何关系求得半径，进而求得磁感应强度、速度等问题．

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