Question

如图所示，ABC是由折射率为的某种透明物质制成的直角三棱镜横截面(O为AB的中点)，∠A=30°.一束光线在纸面内从O点射入棱镜，光线与AB面间的夹角为α.若不考虑光线在AB和BC面上的反射，则：

(1)当α=45°时，请作出光路图并标明角度.

(2)要使射入O点的光线能从AC面射出，夹角α(0°＜α＜90°)应满足什么条件?结果可用反三角函数表示.

Answer 1

解：(1)光线射向AB面的入射角i=45°，由折射定律有=，解得r=30°

设该透明物质的临界角为C，则

sinC=，解得C=45°

光线射向AC面的入射角θ₁=90°-r=60°＞C，故发生全反射.

而θ₂=θ₁，故反射光线垂直于BC面从棱镜射出，光路图如下图.

(2)由几何关系可知，射向AC面的光线恰好发生全反射时r=15°，设此时α=α₁，则有

  ① 

解得α₁=90°-arcsin(sin15°)  ② 

当α角为90°时，射向AC的光线入射角为30°，不会发生全反射，故要使射入O点的光线能从AC面射出，夹角α应满足

90°-arcsin(sin15°)＜α＜90°  ③