Question

1．可视为质点的小球由A点斜向上抛出，运动到最高点B时，进入四分之一光滑圆弧轨道，沿轨道运动到末端C，O为轨道的圆心，A、O、C在同一水平线上，如图所示．运动过程中，小球在A点时重力功率的大小为P₁，小球在C点时重力的功率为P₂，小球在AB过程中重力平均功率的大小为$\overline{{P}_{1}}$，小球在BC过程中重力平均功率的大小为$\overline{{P}_{2}}$．下列说法正确的是（　　）

• A． P₁=P₂
• B． P₁＜P₂
• C． $\overline{{P}_{1}}$＞$\overline{{P}_{2}}$
• D． $\overline{{P}_{1}}$＜$\overline{{P}_{2}}$

Answer 1

分析 重力的瞬时功率等于重力与竖直分速度的乘积，重力的平均功率可根据$\overline{P}$=$\frac{W}{t}$分析，而重力做的功可根据W=mgh分析．

解答 解：AB、设小球到达C点的速度大小为v_C．在整个过程中，只有重力做功，小球的机械能守恒，则有 $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
可得 v_C=v₀．
小球在A点时重力功率的大小为 P₁=mgv₀sinα，α是A点的速度与水平方向的夹角．
小球在C点时重力的功率为 P₂=mgv_C=mgv₀．所以P₁＜P₂．故A错误，B正确．
CD、设小球从A运动到B的时间为t₁．从B运动到C的时间为t₂．
则由运动学公式有 R=$\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$，得 t₁=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
由于小球从B运动到C的过程中，轨道对小球的弹力斜向左下方，弹力有竖直向下的分力，由牛顿第二定律知：小球竖直方向的分加速度大小g，而BC间的竖直高度也为R，所以t₂＜$\sqrt{\frac{2R}{g}}$，则t₁＞t₂．
小球在AB过程中重力平均功率的大小为 $\overline{{P}_{1}}$=$\frac{mgR}{{t}_{1}}$
小球在BC过程中重力平均功率的大小为 $\overline{{P}_{2}}$=$\frac{mgR}{{t}_{2}}$，所以有$\overline{{P}_{1}}$＜$\overline{{P}_{2}}$．故C错误，D正确．
故选：BD

点评 解决本题的关键是明确瞬时功率与平均功率的区别，在计算瞬时功率时，只能用P=Fvcosα来求解，公式P=$\frac{W}{t}$可用来求平均功率的大小．