Question

（2012?上海模拟）在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H=4m的平台上A点由静止出发，沿着动摩擦因数为μ=0.2的滑道向下运动到B点后水平滑出，最后落在水池中．滑道的水平距离L大小不变，设滑道的水平距离为L=5m，B点的高度h可由运动员自由调节，A点不动，AB长度可以调整．（取g=10m/s²） 求：
（1）运动员要达到最大水平运动距离，B点的高度h应调为多大？平抛过程的最大水平距离S_max为多少？
（2）为了研究物体从B点沿光滑抛物线轨道顶端无初速下滑的运动，制做一个与第（1）中运动员平抛轨迹完全相同的光滑轨道，并将该轨道固定在与BC曲线重合的位置，让另一物体P沿该轨道无初速下滑（下滑过程中始终不会脱离轨道），则物体P通过轨道最低点C时的水平分速度和竖直分速度大小．

Answer 1

分析：（1）运动员在滑道上有重力和摩擦力做功，由动能定理可求得运动员到达B点的速度；离开滑道后，运动员做平抛运动，由平抛运动的规律求出水平距离与初速度的关系，联立得出水平距离与h的关系式，运用数学知识求得出最大水平距离及B的高度．
（2）对于物体离开B点做平抛运动的过程，由运动学公式求得在C点水平速度和竖直速度的方向与实际速度方向夹角．物体P从B到C的过程中满足机械能守恒定律，根据题意，轨迹相同，在任意点它们的速度方向相同，根据机械能守恒列式，即可求解．

解答：解：（1）设斜面长度为L₁，斜面倾角为α，由A运动到B过程，根据动能定理得：
   mg(H-h)-μmg?L1cosα=

1

2

m

v

2 0

-0
解得v0=

2g(H-h-μL)

平抛运动过程：s=v₀t，
              h=

1

2

gt2
解得　s=2

(H-μL-h)h

=2

-h2+(H-μL)h

当h=-

H-μL

2×(-1)

=

1

2

(H-μL)=1.5m时，s有最大值，S_max=3m．
（2）对BC运动轨迹：y=

1

2

gt²，t=

0.3

s，
所以落到C点时的竖直分速度大小是v_y=

30

m/s．
又因水平分速度大小为v_B=v₀=

30

m/s，所以物体在C点水平速度和竖直速度的方向与实际速度方向夹角都是45° 角．    
物体P从B到C的过程中满足机械能守恒定律，mgh=

1

2

mv_c²，得v_c=

30

m/s，
因轨迹相同，所以在任意点它们的速度方向相同，所以到C点后水平分速度和竖直分速度的大小是
v_x=v_y=

2

2

vc=

15

m/s
答：
（1）运动员要达到最大水平运动距离，B点的高度h应调为1.5m，平抛过程的最大水平距离S_max为3m．
（2）物体P通过轨道最低点C时的水平分速度和竖直分速度大小都是

15

m/s．

点评：物体在恒力作用下可由动能定理求解，难点在于数学知识的应用，平时学习中要注意数学知识的积累和解题能力的培养．