Question

在一种新的“子母球”表演中，让同一竖直线上的小球A和小球B，从距水平地面高度为ph（p＞1）和h的地方同时由静止释放，如图所示。球A的质量为m，球B的质量为3m。设所有碰撞都是弹性碰撞，重力加速度大小为g，忽略球的直径、空气阻力及碰撞时间。

（1）求球B第一次落地时球A的速度大小；
（2）若球B在第一次上升过程中就能与球A相碰，求p的取值范围；
（3）在（2）情形下，要使球A第一次碰后能到达比其释放点更高的位置，求p应满足的条件。

Answer 1

（1）A球速率 （2）1＜p＜5   （3）1＜p＜3

（1）由于两球同时释放，所以球B第一次落地时A球下落的高度为h，设此时A球的速度大小为v₀，由可得，。
（2）球B第一次落地并与地发生弹性碰撞后做竖直上抛运动。
若球B上升到最大高度h处时刚好与球A发生碰撞，设此时球A自由下落的时间t_A，则=h，此时球A自由下落的高度。联立以上两式，可得h_A=4h，则ph=h_A+h=5h，所以p=5。
若球B在第一次上升过程中就能与球A相碰，则p的取值范围应为1＜p＜5。
（3）设球B第一次落地并与地发生弹性碰撞后又上升了时间t就与球A相碰，则球A、B在空中碰前的速度大小分别为有和，设它们碰后的速度分别为和，选竖直向上为正方向，两球发生弹性碰撞，根据动量守恒和能量守恒，
，
联立解得，。
碰撞时，A球自由下落的高度，B球竖直上升的高度
则
联立解得，即要使球A第一次碰后能到达比其释放点更高的位置。
【考点定位】考查自由落体运动、竖直上抛运动、弹性碰撞等考点，意在考查考生的分析综合能力。