题目内容
4．
如图所示，很长的光滑磁棒竖直固定在水平面上，在它的侧面有均匀向外的辐射状的磁场．磁棒外套有一个质量均匀的圆形线圈，质量为m，半径为R，电阻为r，线圈所在磁场处的磁感应强度为B．让线圈从磁棒上端由静止释放沿磁棒下落，经一段时间与水平面相碰并反弹，线圈反弹速度减小到零后又沿磁棒下落，这样线圈会不断地与水平面相碰下去，直到停留在水平面上．已知第一次碰后反弹上升的时间为t1，下落的时间为t2，重力加速度为g，不计碰撞过程中能量损失和线圈中电流磁场的影响．求：（1）线圈第一次下落过程中的最大速度vm；
（2）线圈从第一次到第二次与水平面相碰的过程中产生的焦耳热Q．
分析 （1）线圈下落过程中垂直切割磁感线，产生感应电动势，由E=BLv、I=$\frac{E}{r}$、FA=BIL得到安培力的表达式，由牛顿第二定律分析线圈加速度的变化，判断线圈的运动情况：安培力逐渐增大，加速度逐渐减小，当安培力与重力平衡时，线圈做匀速直线运动，速度达到最大，由平衡条件可求出最大速度．
（2）根据牛顿第二定律和安培力表达式得到加速度与瞬时速度的关系式，求出一段微小时间△t内，线圈上升高度△h，由积分法求出线圈上升的最大高度．再采用积分法求出线圈第二次下降到水平面时的速度，由能量守恒定律可求出焦耳热Q．
解答 解：（1）线圈第一次下落过程中有：感应电动势为：E=B•2πRv
感应电流大小为：I=$\frac{E}{r}$，
那么安培力为：FA=BIL=BI•2πR，
联合解得安培力大小为：FA=$\frac{4{π}^{2}{B}^{2}{R}^{2}v}{r}$
据牛顿第二定律得：mg-FA=ma
可知线圈做加速度减小的加速运动，当a=0时，速度最大，代入求得最大速度为：υm=$\frac{mgr}{4{π}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}$
（2）反弹后上升的过程中某一时刻，由牛顿运动定律得：mg+B$\frac{2πRBv}{r}$×2πR=ma
在一段微小时间△t内，速度增量为：△υ=a△t，线圈上升高度为：△h=υ△t
则线圈可上升的最大高度h为：h=∑△h=$\frac{∑（ma-mg）△t}{4{π}^{2}{R}^{2}{B}^{2}}$r=$\frac{{m}^{2}g{r}^{2}}{16{π}^{4}{B}^{4}{R}^{4}}$-$\frac{mgr{t}_{1}}{4{π}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}$
线圈到达最高点后，下落过程中的某一时刻，由牛顿运动定律得：mg-B$\frac{2πBRv}{r}$×2πR=ma
在一段微小时间△t内，速度增量为：△υ=a△t，线圈下降高度为：△h=υ△t
则线圈第二次下降到水平面时的速度为：υ=∑△υ=$\frac{1}{m}$∑（mg-$\frac{4{π}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}{r}$）△t=g（t1+t2）-$\frac{mgr}{4{π}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}$
本过程中线圈中产生的热量为线圈动能的损失：
Q=$\frac{1}{2}$mυm2-$\frac{1}{2}$mυ2=$\frac{1}{2}$m（$\frac{mgr}{4{π}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}$）2-$\frac{1}{2}$m（g（t1+t2）-$\frac{mgr}{4{π}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}$）2；
化简得：Q=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}r}{4{π}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}$（t1+t2）-$\frac{1}{2}$mg2（t1+t2）2；
答：（1）线圈第一次下落过程中的最大速度υm为$\frac{mgr}{4{π}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}$．
（2）线圈从第一次到第二次与水平面相碰的过程中产生的焦耳热$\frac{{m}^{2}{g}^{2}r}{4{π}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}$（t1+t2）-$\frac{1}{2}$mg2（t1+t2）2．
点评 本题是电磁感应问题，难点是采用积分法求解非匀变速运动的速度和高度，从牛顿第二定律入手，采取微元法，得到一段微小时间△t内速度的变化量和高度变化量，再积分．难度较大，考查运用数学知识处理物理问题的能力．
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如图所示，匀强磁场磁感应强度为B，矩形线圈长为2L，宽为L，开始时矩形线圈与磁场垂直，且一半在匀强磁场中，另一半在匀强磁场外，若要线圈以ab边为轴转动60°，求线圈磁通量的变化．
如图所示，电路中的变压器为理想变压器，K为单刀双掷开关，P是滑动变阻器R的滑片，U1为加在原线圈两端的交变电压，I1、I2分别为原线圈和副线圈中的电流．下列说法正确的是（ ）| A． | 保持P的位置及U1不变，S由b切换到a，则R上消耗的功率减小 | |
| B． | 保持P的位置及U1不变，S由a切换到b，则I2减小 | |
| C． | 保持P的位置及U1不变，S由b切换到a，则I1增大 | |
| D． | 保持U1不变，S接在b端，将P向上滑动，则I1减小 |
如图所示，长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内作圆周运动，关于小球在最高点下列说法中正确的是（ ）| A． | v的最小值为$\sqrt{gR}$ | |
| B． | v由零逐渐增大，向心力也逐渐增大 | |
| C． | v由零逐渐增大，杆对小球的弹力也逐渐增大 | |
| D． | 当v由$\sqrt{gR}$值逐渐减小时，杆对小球的弹力也逐渐减小 |
如图，一轻弹簧一端固定，另一端连接一物块构成弹簧振子，该物块是由a、b两个小物块粘在一起组成的．物块在光滑水平面上左右振动，振幅为A0，周期为T0．当物块向右通过平衡位置时，a、b之间的粘胶脱开；以后小物块a振动的振幅和周期分别为A和T，则（ ）| A． | A＞A0 T＞T0 | B． | A＞A0 T=T0 | C． | A＜A0 T＜T0 | D． | A＞A0 T＜T0 |
如图所示，半径为R的光滑半圆上有两个小球A，B，质量分别为m和M，M＞m，由细线挂着，今由静止开始自由释放，至小球A升到最高点C的过程中，A，B两球的重力势能的变化量为多少？
如图所示，倾角为37°的部分粗糙的斜面轨道和两个光滑半圆轨道组成翘尾巴的S形轨道．两个光滑半圆轨道半径都为R=0.2m，其连接处CD之间留有很小的空隙，刚好能够使小球通过，CD之间距离可忽略．斜面上端有一弹簧，弹簧上端固定在斜面上的挡板上，弹簧下端与一个可视为质点、质量为m=0.02kg的小球接触但不固定，此时弹簧处于压缩状态并锁定，弹簧的弹性势能Ep=0.27J，现解除弹簧的锁定，小球从A点出发，经翘尾巴的S形轨道运动后从E点水平飞出，落到水平地面上，落点到与E点同一竖直线上B点的距离s=2.0m．已知斜面轨道的A点与水平面B点之间的高度为h=1.0m，小球与斜面的粗糙部分间的动摩擦因数为0.75，小球从斜面到达半圆轨道通过B点时，前后速度大小不变，不计空气阻力，g取10m/s2，求：