Question

平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以速度v₀垂直于y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成60°角射入磁场，最后从y轴负半轴上的P点与y轴正方向成60°角射出磁场，如图所示．不计粒子重力，求
（1）粒子在磁场中运动的轨道半径R；
（2）匀强电场的场强大小E．

Answer 1

分析：粒子在坐标轴第一象限做类平抛运动，已知类平抛的初速度v₀，和离开电场时的速度方向与x轴方向成60°角，根据类平抛运动规律，根据初速度可以求出粒子进入磁场的初速度v，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，已知速度v和磁感应强度B，可得粒子做圆周运动的轨道半径R；根据粒子在磁场中的运动轨迹可以求得粒子做类平抛运动在x轴方向的位移，由于在x轴方向做匀速直线运动，故类平抛时间t可求，在y轴方向上可以求得粒子的速度v，据v=at可以得出粒子的加速度a，由于是电场力产生加速度，故可以求出电场强度E．

解答：解：（1）因为粒子在电场中做类平抛运动，设粒子过N点时的速度为v，

根据平抛运动的速度关系粒子在N点进入磁场时的速度v=

vx

cos60°

=

Vo

cos60°

=2v₀
如图：

分别过N、P点作速度方向的垂线，相交于Q点，则Q是粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心，
根据牛顿第二定律 qvB=

mv2

R

∴R=

mv

qB

代入v=2v₀得粒子的轨道半径  
R=

2mV0

qB

（2）粒子在电场中做类平抛运动，设加速度为a，运动时间为t
由牛顿第二定律：qE=ma          ①
设沿电场方向的分速度为v_y=at         ②
粒子在电场中x轴方向做匀速运动，由图根据粒子在磁场中的运动轨迹可以得出：
粒子在x轴方向的位移：Rsin30°+Rcos30°=v₀t       ③
又  v_y=v₀tan60°      ④
由①②③④可以解得  E=

(3- 3 )V0B

2

．
答：（1）粒子在磁场中运动的轨道半径R=

2mV0

qB

；
（2）匀强电场的场强大小E=

(3- 3 )V0B

2

．

点评：掌握平抛运动的处理方法并能运用到类平抛运动中，粒子在磁场中做匀速圆周运动，能正确的画出运动轨迹，并根据几何关系确定各量之间的关系．