题目内容
3．如图1所示，装置BO′O可绕竖直轴O′O转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角θ=37°．已知小球的质量m=1kg，细线AC长L=1m，B点距C 点的水平和竖直距离相等．（重力加速度g取10m/s2，sin37°=$\frac{3}{5}$，cos37°=$\frac{4}{5}$）（1）若装置匀速转动的角速度为ω1时，细线AB上的张力为零而细线AC与竖直方向夹角仍为37°，求角速度ω1的大小；
（2）若装置匀速转动的角速度ω2=$\sqrt{\frac{50}{3}}$rad/s，求细线AC与竖直方向的夹角；
（3）装置可以以不同的角速度匀速转动，试通过计算在坐标图2中画出细线AC上张力T随角速度的平方ω2变化的关系图象．
分析 （1）细线AB上张力恰为零时小球靠重力和拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出角速度ω1的大小．
（2）ω2=$\sqrt{\frac{50}{3}}$rad/s＞ω1时，细线AB松弛，根据小球重力和拉力的合力提供向心力求出细线AC与竖直方向的夹角．
（3）根据牛顿第二定律分别求出ω≤ω1时、ω1≤ω≤ω2时、ω＞ω2时拉力的大小，从而确定细线AC上张力T随角速度的平方ω2变化的关系，并作出图象．
解答 
解（1）细线AB上张力恰为零时有 mgtan37°=mω12Lsin37°
解得：ω1=$\sqrt{\frac{g}{Lcos37°}}$=$\frac{5}{2}\sqrt{2}$rad/s
（2）因ω2=$\sqrt{\frac{50}{3}}$rad/s＞ω1=$\sqrt{\frac{g}{Lcos37°}}$=$\frac{5}{2}\sqrt{2}$rad/s，则细线AB应松弛，有
mgtanθ′=mω22Lsinθ′
解得：cosθ′=0.6，则θ′=53°，此时细线AB恰好竖直，但张力为零．
（3）当ω≤ω1=$\frac{5}{2}\sqrt{2}$rad/s时，细线AB水平，细线AC上张力的竖直分量等于小球的重力，则
Tcosθ=mg
得 T=$\frac{mg}{cosθ}$=12.5N
当ω1≤ω≤ω2时细线AB松弛，细线AC上张力的水平分量等于小球做圆周运动需要的向心力，有：
Tsinθ=mω2Lsinθ，
得：T=mω2L
当ω＞ω2时，细线AB在竖直方向绷直，仍然由细线AC上张力的水平分量提供小球做圆周运动需要的向心力，有：
Tsinθ=mω2Lsinθ，
得：T=mω2L
综上所述ω≤ω1=$\frac{5}{2}\sqrt{2}$rad/s时，T=12.5N不变；ω＞ω1时，T=mω2L=ω2（N），T-ω2关系图象如图所示．
答：
（1）角速度ω1的大小为$\frac{5}{2}\sqrt{2}$rad/s．
（2）细线AC与竖直方向的夹角为53°．
（3）细线AC上张力T随角速度的平方ω2变化的关系图象如图．
点评 解决本题的关键理清小球做圆周运动的向心力来源，确定小球运动过程中的临界状态，运用牛顿第二定律进行求解．
如图所示．两个相同的小球A、B用长均为0.8m的细绳悬于小车顶部，随小车一起向右匀速运动，速度为4m/s，两球与小车前后壁接触，若某时刻小车突然停止运动，则此时悬线的拉力之比为FA：FB为（ ）（重力加速度g取10m/s2）
如图所示，两光滑金属导轨，间距d=0.2m，在桌面上的部分是水平的，处在磁感应强度B=1T、方向竖直向下的有界匀强磁场中，电阻R=1Ω，桌面高H=0.8m，金属杆ab质量m=0.2kg、接入电路部分的电阻r=1Ω，从导轨上距桌面h=0.45m高处由静止释放，落地点距桌面左边缘的水平距离s=0.8m，g=10m/s2．求：
重力G=36N的物体，与竖直墙壁间的动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，现用与水平方向夹角成θ=60°的斜向上的推力F拖住物体．
如图所示，AOB是光滑水平轨道，BC是半径为R的光滑的$\frac{1}{4}$固定圆弧轨道，两轨道恰好相切于B点．一小木块静止在O点，一颗子弹以某一初速度水平向右射入小木块内，并留在其中和木块一起运动，且恰能到达圆弧轨道的最高点C（木块和子弹均看成质点）．已知木块的质量是子弹质量的7倍，重力加速度为g．
带电量为1.0×10-2C的粒子，在电场中先后飞经A，B两点，飞经A点时的动能为100J，飞经B点时的动能为40J，已知A点的电势为-700V，如图所示，求：