Question

18．如图所示为宇宙中一恒星系的示意图，A为该星系的一颗行星，它绕中央恒星O的运行轨道近似为圆，已知引力常量为G，天文学家测得到A行星的运行轨道半径为R₀，周期为T₀．天文学家经过长期观测发现，A行星其实际运行的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t₀时间发生一次最大的偏离．天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知行星B，则下列说法正确的是（　　）

• A． 行星A的向心加速度大于中央恒星O表面的重力加速度
• B． 行星A运行的线速度小于中央恒星O的第一宇宙速度
• C． 中央恒星O的质量为$\frac{4{π}^{2}{{R}^{3}}_{0}}{G{{T}^{2}}_{0}}$
• D． 行星B运行的周期T=t₀+T₀

Answer 1

分析 由万有引力提供向心力可求得速度与半径r的关系，并可求得中心天体的质量；先根据多转动一圈时间为t₀，求出卫星的周期；

解答 解：A、由a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，可知半径大的加速度小，则A错误
   B、$；v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$可知行星A运行的线速度小于中央恒星O的第一宇宙速度，则B正确
   C、由$；\\;mr\frac{4{π}^{2}}{{T}_{0}^{2}}$$mr\frac{4{π}^{2}}{{T}_{0}^{2}}$=G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$可得：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}_{0}^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}{{R}^{3}}_{0}}{G{{T}^{2}}_{0}}$，则C正确
   D、由题意可知：A、B相距最近时，B对A的影响最大，且每隔时间t₀发生一次最大的偏离，说明A、B相距最近，设B行星的周期为T，则有：$（\frac{2π}{{T}_{0}}-\frac{2π}{T}）{t}_{0}=2π$  解得：T=$\frac{{t}_{0}{T}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}$则D错误
故选：BC

点评 要注意已知旋转天体的轨道半径和周期求出的是中心天体的质量，而不是旋转天体本身的质量，掌握万有引力提供向心力这一理论，并能灵活运用，知道A、B相距最近时，B对A的影响最大，且每隔时间t₀发生一次最大的偏离，说明A、B相距最近，难度适中．