Question

质量为 M、半径为 R 的匀质水平圆盘静止在水平地面上，盘与地面间无摩擦。圆盘中心处有一只质量为 m 的小青蛙(可处理成质点)，小青蛙将从静止跳出圆盘。为解答表述一致，将青蛙跳起后瞬间相对地面的水平分速度记为 vx，竖直向上的分速度记为 vy，合成的初始速度大小记为 v，将圆盘后退的速度记为 u。

 (1)设青蛙跳起后落地点在落地时的圆盘外。

 (1.1)对给定的 vx，可取不同的 vy，试导出跳起过程中青蛙所做功 W 的取值范围，答案中可包含的参量为 M、R、m、g(重力加速度)和 vx。 

(1.2)将(1.1)问所得 W 取值范围的下限记为 W0，不同的 vx对应不同的 W0值，试导出其中最小者 Wmin，答案中可包含的参量为 M、R、m 和 g。 

(2)如果在原圆盘边紧挨着放另外一个相同的静止空圆盘，青蛙从原圆盘中心跳起后瞬间，相对地面速度的方向与水平方向夹角为 45°，青蛙跳起后恰好能落在空圆盘的中心。跳起过程中青蛙所作功记为 W’，试求 W’与(1.2)问所得 Wmin间的比值 γ=W‘/Wmin，答案中可包含的参量为 M 和 m。        

Answer 1

解析：(1) 青蛙跳起后落地点在圆盘外。

 (1.1) 青蛙跳起过程，水平方向动量守恒。由动量守恒定律，m vx =M u，

vx t+ut>R，

vy =gt/2，

v2= vx2+ vy2。

跳起过程中青蛙做功 W =m v2+Mu2。

联立解得：W >m vx2++.

(1.2) W0 =m vx2++=+

由于·=为定值，根据两个正数积一定，两数相等时，和最小，即=，解得vx2=。

可得Wmin =+.。

 (2) 设青蛙起跳速度为v，青蛙跳起过程，水平方向动量守恒。由动量守恒定律，

m vcos 45°=M u，

v cos 45°t=2R，

vsin45°=gt/2，

跳起过程中青蛙做功 W’=m v2+Mu2。

联立解得：W ‘=(1+)mgR。

γ=W‘/Wmin =..

【点评】此题以小青蛙在水平圆盘跳跃切入，意在考查动量守恒定律、功、运动的合成和分解及其相关知识。此题需要运用数学知识求得功的极小值。