Question

15．如图甲所示，质量M=3kg足够长的小车静止在水平面上，半径为R的$\frac{1}{4}$光滑圆轨道的下端与小车的右端平滑对接，质量m=1kg的物块（可视为质点）由轨道顶端静止释放，接着物块离开圆轨道滑上小车．从物块滑上小车开始计时，物块运动的速度随时间变化如图乙所示．己知小车与水平面间的摩擦因数μ₀=0.01，重力加速度10m/s²，求：

（1）物块经过圆轨道最低点时对轨道的压力F大小；
（2）直到物块与小车相对静止的过程中因摩擦共产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出物块到达圆轨道半径，根据牛顿第二定律求出支持力的大小，从而得出对轨道压力F的大小．
（2）根据牛顿第二定律分别求出物块和小车的加速度，当两者速度相等时，保持相对静止，结合运动学公式求出相对静止所需的时间．小车先做匀加速直线运动，当与滑块速度相等后做匀速直线运动，结合运动学公式求出小车运动2s时，小车右端距轨道B端的距离．根据运动学公式求出物块和小车的相对位移，根据Q=f△s求出产生的热量Q．

解答 解：（1）根据机械能守恒定律可得  $mgR=\frac{1}{2}m{v^2}$
解得 R=0.8m
根据牛顿运动定律得物块对轨道的压力大小为  $F-mg=m\frac{v^2}{R}$
解得   F=30N
（2）物块滑上小车后，由图象可知物块的加速度大小为  ${a_1}=1m/{s^2}$
  物块与小车间的摩擦力的大小为 f₁=ma₁=1N
设小车的加速度为a₂，则 f₁-μ₀（M+m）g=Ma₂
解得   ${a_2}=0.2m/{s^2}$
当它们达到相同的速度时，有 v=v₀-a₁tv=a₂t
解得  $t=\frac{10}{3}s$
这一过程中，物块的位移为  ${x_1}={v_0}t-\frac{1}{2}{a_1}{t^2}=\frac{70}{9}m$
小车的位移为    ${x_2}=\frac{1}{2}{a_2}{t^2}=\frac{10}{9}m$
物块与小车因摩擦产生的热量为  ${Q_1}={f_1}（{x_1}-{x_2}）=\frac{20}{3}J$
小车与地面摩擦产生的热量为 ${Q_2}={μ_0}（M+m）g{x_2}=\frac{4}{9}J$
所以共产生的热量为 $Q={Q_1}+{Q_2}=\frac{64}{9}J$
答：
（1）物块经过圆轨道最低点时对轨道的压力F大小是30N；
（2）直到物块与小车相对静止的过程中因摩擦共产生的热量Q是$\frac{64}{9}$J．

点评 此题的关键理清物块和小车的运动规律，运用机械能守恒、功能关系、牛顿第二定律和运动学公式求解．知道摩擦生热与相对路程有关．