Question

9．如图所示，一质量为m=0.75kg的小球在距地面高h=10m处由静止释放，落到地面后反弹，碰撞时无能量损失，若小球运动过程中受到空气阻力f大小恒为2.5N，g=10m/s²．求：
（1）小球与地面第一次碰撞后向上运动的最大高度；
（2）小球从静止开始运动到与地面发生第五次碰撞时通过的总路程．

Answer 1

分析 （1）小球运动的过程中只有重力和阻力做功，对下落的过程和上升的过程由动能定理列式求解小球与地面第一次碰撞后向上运动的最大高度；
（2）小球与地面碰撞后，上升的高度与下降的高度是相等的，分别由动能定理即可求出上升的最大高度与落地时的速度，同理即可表达出相应的数列，然后求和即可．

解答 解：（1）小球下落的过程中重力做正功，阻力做负功，设小球落地的速度为v，得：$mgh-fh=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
小球上升的过程中，重力由于阻力都做负功，设上升的高度为h₁，则：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=mg{h}_{1}+f{h}_{1}$
得：h₁=5m
（2）小球下落的过程中重力做正功，阻力做负功，设小球第二次落地的速度为v₁，得$mg{h}_{1}-f{h}_{1}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$；
小球上升的过程中，重力由于阻力都做负功，设上升的高度为h₂，则：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=mg{h}_{2}+f{h}_{2}$
得：${h}_{2}=\frac{mg{h}_{1}-f{h}_{1}}{mg+f}=\frac{1}{2}{h}_{1}$=2.5m
同理，小球第三次落地后上升的高度：${h}_{3}=\frac{1}{2}{h}_{2}=\frac{5}{4}$m
小球第四次落地后上升的高度：${h}_{4}=\frac{1}{2}{h}_{3}=\frac{1}{2}×\frac{5}{3}=\frac{5}{8}$m
小球从静止开始运动到与地面发生第五次碰撞时通过的总路程：s=h+2h₁+2h₂+2h₃+2h₄=28.75m
答：（1）小球与地面第一次碰撞后向上运动的最大高度是5m；
（2）小球从静止开始运动到与地面发生第五次碰撞时通过的总路程是28.75m

点评 本题应用动能定理全程列式可顺利求解，关键在于明确阻力做功的求法，记住不论物体向下还是上，阻力一直做负功．