Question

16．如图所示，长为l=1m的细线一端固定在一竖直杆上的O点，另一端拴着一个质量为m=2kg的小球，整个装置以竖直杆为轴在水平面内匀速转动，现缓慢地增大转速，当细线与竖直方向的夹角为θ=53°时，细线恰好断裂．已知O点到水平地面的竖直高度为h=1.5m，重力加速度取g=10m/s²，忽略小球半径大小及空气阻力的影响，求：
（1）细线能承受的最大张力为多大；
（2）细线刚断裂瞬间竖直杆转动的角速度大小；
（3）小球第一次落地点到竖直杆的距离．

Answer 1

分析 （1）依据绳子断裂时的夹角可以求的绳子的张力；
（2）依据细线刚断裂瞬间所受的向心力可求竖直杆转动的角速度大小；
（3）绳子断裂后小球做平抛运动，依据平抛规律可求小球第一次落地点到竖直杆的距离．

解答 解：
（1）小球受力如图：
，
由三角关系可得，绳子张力为：$T=\frac{mg}{cos53°}=\frac{2×10}{0.6}=33.3N$．
（2）细线刚断裂瞬间所受的向心力为：F_n=mgtan53°，又：${F}_{n}=mr{ω}^{2}$，
解得：
$ω=\sqrt{\frac{gtan53°}{lcos53°}}=\sqrt{\frac{10×0.8}{1×0．{6}^{2}}}=1.68rad/s$．
（3）绳子断裂后小球做平抛运动，可得：
竖直方向：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
水平方向：x=vt，
v=ω•lcos53°，
解得：
$x=ω•lcos53°•\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$1.68×1×0.6×\sqrt{\frac{2×1.5}{10}}=0.52m/s$．
答：（1）细线能承受的最大张力为33.3N；
（2）细线刚断裂瞬间竖直杆转动的角速度大小为1.68m/s；
（3）小球第一次落地点到竖直杆的距离为0.52m/s．

点评 该题是圆周运动与平抛结合的题，关键问题是要能够做好临界问题的分析，依据临界角度分析受力，进而结合圆周运动和平抛运动规律来解答．