Question

4．已知地球表面的重力加速度为g，地球的半径为R，求：
（1）地球的第一宇宙速度（环绕速度）；
（2）若地球自转的周期为T，求地球同步卫星的线速度和距地面的高度．

Answer 1

分析 第一宇宙速度是卫星在近地圆轨道上的环绕速度，重力等于万有引力，引力等于向心力，列式求解；
地球的同步卫星的万有引力提供向心力，可以求出地球同步卫星的高度．

解答 解：（1）设地球质量为M，对于地球表面质量为m₀的物体，有：${m_0}g=G\frac{{M{m_0}}}{R^2}$…①
设质量为m的卫星绕地球做匀速圆周运动，其线速度为v，轨道半径为r，根据向心力公式有：$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$…②
当r=R时，v为地球的第一宇宙速度，所以，根据①②式及r=R 可得，地球的第一宇宙速度为：$v=\sqrt{gR}$                      
（2）设同步卫星质量为m′，到地心的距离为r?，其绕地球运行周期与地球自转周期T相同，
则：$m′\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r′=G\frac{Mm′}{r{′}^{2}}$…③
由①③式得r′=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$             
 同步卫星离地高度为h=r′-R=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R         
 同步卫星的线速度$v′=\frac{2πr′}{T}$=$\frac{2π\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}}{T}$=$\root{3}{{\frac{{2πg{R^2}}}{T}}}$
答：（1）地球的第一宇宙速度（环绕速度）$\sqrt{gR}$；
（2）若地球自转的周期为T，求地球同步卫星的线速度$\root{3}{{\frac{{2πg{R^2}}}{T}}}$，和距地面的高度$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R．

点评 解答此题要清楚地球表面的物体受到的重力等于万有引力，地球的同步卫星的万有引力提供向心力．