Question

9．如图所示，质量为m的小球P自4R高度下落后沿竖直平而内的光滑轨道ABC  运动．AB是半径为R的$\frac{1}{4}$圆弧轨道，BC是直径为R的半圆弧轨道，B是轨道最低点，在圆弧AB和BC的衔接处另有一个质量也为m的静止小球Q．小球P运动到B点和小球Q碰撞后粘在一起变成一个整体，整体沿轨道向上运动到C点后水平抛出．求：
（1）小球P和小球Q碰撞前后小球P的速度；
（2）小球P、Q整体在C点时对轨道的压力
（3）小球P、Q整体离开c点后至撞上圆弧轨道的过程中竖直下落的高度．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒求得小球P碰撞前的速度，再根据动量守恒求得碰撞后的共同速度；
（2）根据机械能守恒求得整体到达C时的速度，再根据牛顿运动定律合力提供圆周运动向心力求得轨道对整体的作用力，从而求得对轨道的压力；
（3）根据平抛方程和圆轨道方向求得整体竖直下落的高度．

解答 解：（1）小球P下落时根据机械能守恒定律  $mg（4R+R）=\frac{1}{2}mv_0^2$
解得小球P撞击小球Q时的速度为：
$v_0^{\;}=\sqrt{10gR}$
与Q碰撞过程中由动量守恒定律可得：
mv₀=2mv
解得碰后两球的共同速度$v=\frac{1}{2}\sqrt{10gR}$
（2）碰后两球的复合体在由B到C的过程中，根据机械能守恒定律得
$\frac{1}{2}2m{v^2}=\frac{1}{2}2mv_c^2+2mgR$
解得小球在C点的速度：${v_C}=\sqrt{\frac{gR}{2}}$
设两球的复合体在C时和轨道间的弹力大小为N，有牛顿第二定律及向心力公式得：
$N+2mg=2m\frac{v_C^2}{{\frac{R}{2}}}$，
解得：N=0
即小整体对轨道的压力为零．
（3）两球离开C点做平抛运动：
x=v_Ct，
$y=\frac{1}{2}g{t^2}$
AB轨道位于以C点为圆心的圆周上：
x²+y²=R²
解得：$y=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}R=0.618R$
答：（1）小球P和小球Q碰撞前后小球P的速度分别为$\sqrt{10gR}$和$\frac{1}{2}\sqrt{10gR}$；
（2）小球P、Q整体在C点时对轨道的压力为0；
（3）小球P、Q整体离开c点后至撞上圆弧轨道的过程中竖直下落的高度为0.618R．

点评 解决本题的关键是能从机械能守恒或动能定理角度分析小球运动的速度关系，在碰撞过程中满足动量守恒，结合圆周运动条件求对轨道的压力，以及由圆周轨道的方程分析小球平抛的下落高度．本题综全性较强，考查知识点较多，属难题．