Question

7．如图，一半径为R，粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ水平，一质量为m的质点自P点上方高度R处由静止开始下落，恰好从P点进入轨道，质点滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，g为重力加速度的大小，用W表示质点从P点运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功，则（　　）

• A． W=$\frac{1}{2}$mgR，质点恰好可以到达Q点
• B． W＞$\frac{1}{2}$mgR，质点不能到达Q点
• C． W=$\frac{1}{2}$mgR，质点到达Q点后，继续上升一段距离
• D． W＜$\frac{1}{2}$mgR，质点到达Q点后，继续上升一段距离

Answer 1

分析 对N点运用牛顿第二定律，结合压力的大小求出N点的速度大小，对开始下落到N点的过程运用动能定理求出克服摩擦力做功的大小．抓住NQ段克服摩擦力做功小于在PN段克服摩擦力做功，根据动能定理分析Q点的速度大小，从而判断能否到达Q点．

解答 解：在N点，根据牛顿第二定律有：$N-mg=m\frac{{{v}_{N}}^{2}}{R}$，解得${v}_{N}=\sqrt{3gR}$，
对质点从下落到N点的过程运用动能定理得，$mg•2R-W=\frac{1}{2}m{{v}_{N}}^{2}-0$，
解得W=$\frac{1}{2}mgR$．
由于PN段速度大于NQ段速度，所以NQ段的支持力小于PN段的支持力，
则在NQ段克服摩擦力做功小于在PN段克服摩擦力做功，
对NQ段运用动能定理得，$-mgR-W′=\frac{1}{2}m{{v}_{Q}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{N}}^{2}$，
因为$W′＜\frac{1}{2}mgR$，可知v_Q＞0，所以质点到达Q点后，继续上升一段距离．故C正确，A、B、D错误．
故选：C．

点评 本题考查了动能定理和牛顿第二定律的综合运用，知道在最低点，靠重力和支持力的合力提供向心力，通过牛顿第二定律求出N点的速度是关键．注意在NQ段克服摩擦力做功小于在PN段克服摩擦力做功．