题目内容
已知地球半径R=6400km,地球表面的重力加速度g=10m/s2,不考虑地球自转的影响.求:
(1)推导第一宇宙速度v1的表达式,并计算其数值;
(2)若地球自转周期T=24h,计算地球同步卫星距离地面的高度h;
(3)若已知万有引力常量G=6.7×10-11N?m2/kg2,估算地球的平均密度ρ.(以上计算结果保留一位有效数字)
(1)推导第一宇宙速度v1的表达式,并计算其数值;
(2)若地球自转周期T=24h,计算地球同步卫星距离地面的高度h;
(3)若已知万有引力常量G=6.7×10-11N?m2/kg2,估算地球的平均密度ρ.(以上计算结果保留一位有效数字)
分析:主要应用在地球表面重力和万有引力相等,卫星运动时万有引力提供圆周运动的向心力,据此列式求解即可.
解答:解:(1)当卫星在地球表面附近运动行时,受地球的万有引力提供向心力,即
G
=m
得:卫星运行速度v=
①
又因为在不考虑地球的自转,地球表面的重力和万有引力相等,故有mg=G
,所以有
GM=gR2 ②
将②代入①可得:
v1=
=
m/s=8×103m/s
(2)同步卫星运动地周期与地球自转周期相同,即T=24h=24×3600s,同步卫星受到地球的万有引力提供向心力,故有:
G
=m(R+h)(
)2
可得R+h=
即:
h=
-R ③
将②代入③得:h=
-R=
-6400×103m≈4×107m
(3)由②式得M=
④
由几何知识知,地球的体积V=
πR3 ⑤
所以地球的密度ρ=
=
=
=
kg/m3≈6×103Kg/m3.
答:(1)第一宇宙速度表达式v1=
,数值为8×103m/s;
(2)同步卫星距地面的高度h=4×107m;
(3)地球的平均密度ρ=6×103Kg/m3.
G
mM |
R2 |
v2 |
R |
得:卫星运行速度v=
|
又因为在不考虑地球的自转,地球表面的重力和万有引力相等,故有mg=G
mM |
R2 |
GM=gR2 ②
将②代入①可得:
v1=
gR |
10×6400×103 |
(2)同步卫星运动地周期与地球自转周期相同,即T=24h=24×3600s,同步卫星受到地球的万有引力提供向心力,故有:
G
mM |
(R+h)2 |
2π |
T |
可得R+h=
3 |
| ||
h=
3 |
| ||
将②代入③得:h=
3 |
| ||
3 |
| ||
(3)由②式得M=
gR2 |
G |
由几何知识知,地球的体积V=
4 |
3 |
所以地球的密度ρ=
M |
V |
| ||
|
3g |
4πRG |
3×10 |
4×3.14×6400×103×6.7×10-11 |
答:(1)第一宇宙速度表达式v1=
|
(2)同步卫星距地面的高度h=4×107m;
(3)地球的平均密度ρ=6×103Kg/m3.
点评:能正确利用万有引力和重力向心力的关系,并能抓住表达式中的变量和不变量进行讨论和计算.
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