Question

8．长为L的细线，上端固定，下端拴一质量为m、带电荷量为q的小球，处于如图所示的水平向右的匀强电场中，开始时，将线与小球拉成水平，然后由A点释放，小球由静止开始向下摆动，当细线转过60°角时，小球到达B点速度恰好为零．已知重力加速度为g，试求：
（1）匀强电场的场强大小；
（2）小球到达B点时，细线对小球的拉力大小；
（3）小球从A到B运动过程中的最大动能E_AB及此位置细线与水平方向夹角θ．

Answer 1

分析 （1）小球从A到B的过程中，重力做正功mgLsin60°，电场力做功为qU_AB，动能的变化量为零，根据动能定理求解电势差U_AB；根据电场强度与电势差的关系U=Ed求解场强．式中d是AB沿电场线方向的距离，d=L-Lcos60°．
（2）小球在AB间摆动时具有对称性，B处绳拉力与A处绳拉力相等，研究A处绳子的拉力得到B处绳子的拉力．在A处小球水平方向平衡，由平衡条件求解拉力
（3）速度最大，此时，切向方向合力为零，根据受力分析求的夹角，根据动能定理求得最大动能

解答 解：（1）小球由A→B过程中，由动能定理：
mgLsin60°-qU_AB=0
所以U_AB=$\frac{\sqrt{3}mgL}{2q}$
E=$\frac{{U}_{AB}}{L-Lcos60°}=\frac{\sqrt{3}mg}{q}$
（2）小球在AB间摆动，由对称性知，B处细线拉力与A处细线拉力相等，而在A处，由水平方向平衡有
T_A=Eq=$\sqrt{3}$mg
所以T_B=T_A=$\sqrt{3}$mg
或在B处，沿细线方向合力为零，有
T_B=Eqcos60°+mgcos30°=$\sqrt{3}$mg．
（3）假设静止释放，与水平方向的夹角为θ，速度最大，此时，切向方向合力为零
满足qEsinθ=mgcosθ
解得$tanθ=\frac{mg}{qE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
即θ=30°
根据动能定理可得mgLsin30°-qEL（1-os30°）=E_k-0
解得${E}_{k}=（2-\sqrt{3}）mgL$
答：（1）匀强电场的场强大小为$\frac{\sqrt{3}mg}{q}$；
（2）小球到达B点时，细线对小球的拉力大小为$\sqrt{3}$mg
（3）小球从A到B运动过程中的最大动能E_AB为$（2-\sqrt{3}）mgL$，此位置细线与水平方向夹角θ为30．

点评 本题考查了动能定理，共点力平衡条件，电场力做功的直接应用，第（2）问题也可以直接研究B处得到，小球在B处，沿绳方向合力为零
有：F_TB=Eqcos60°+mgcos30°=$\sqrt{3}mg$