题目内容
【题目】如图所示,轻弹簧一端固定在与斜面垂直的挡板上,另一端点在O位置.质量为m的物块A(可视为质点)以初速度v0从斜面的顶端P点沿斜面向下运动,与弹簧接触后压缩弹簧,将弹簧右端压到O′点位置后,A又被弹簧弹回。物块A离开弹簧后,恰好回到P点.已知OP的距离为x0,物块A与斜面间的动摩擦因数为μ,斜面倾角为θ。求:
(1)O点和O′点间的距离x1;
(2)弹簧在最低点O′处的弹性势能;
(3)设B的质量为βm,μ=tanθ,v0=3.在P点处放置一个弹性挡板,将A与另一个与A材料相同的物块B(可视为质点与弹簧右端不拴接)并排一起,使两根弹簧仍压缩到O′点位置,然后从静止释放,若A离开B后给A外加恒力
,沿斜面向上,若A不会与B发生碰撞,求β需满足的条件?
【答案】(1);(2)
;(3)
【解析】
(1)从A到O′,由动能定理可得
①
物块A离开弹簧后回到P点的过程,由动能定理得
②
解得
(2)将带入②式可得,弹簧弹力做功为
即弹簧的弹性势能为
(3)两物体分离的瞬间有,两物体之间的弹力为0,由牛顿第二定律可得
解得,即弹簧恢复原长的瞬间,两物体分离。
设分离瞬间,两物体的速度为,由能量守恒可得
将,
,
带入解得
由于,
,故分离后两物体的加速大小分别为
由此可知,分离后两物体均做减速运动,且B的加速度大于A,故在A物体上升阶段,两物体不会碰撞;B速度减为0后,由于,故B物体会保持静止状态,B物体上升的位移为
若A物体与挡板碰撞前速度就减为0,则此后A物体保持静止状态,两物体一定不会碰撞;若A物体能与挡板相碰,当物体A与挡板碰撞后,继续以加速度向下做减速运动, 直到速度减为0,保持静止;
A物体速度减为0的总路程为
若A物体不与挡板碰撞,则
解得
若A物体能与挡板碰撞,则两物体不相撞的条件为A物体速度减为0时不与B物体相撞,即
且
解得
由于,故
综上所述,的取值范围为
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