Question

15．如图所示，质量为M=1kg的光滑$\frac{1}{4}$弧形槽AB静止在光滑的水平地面上，其半径为R=0.7m，弧形槽过B点的切线为竖直方向；用质量为m=1kg的小钢球将弹簧压缩在竖直墙上并锁定，解除锁定后，小球以速度v₀=10m/s冲上弧形槽，并能从弧形槽的最高点B冲出，小球可视为质点，g=10m/s²，下列说法正确的是（　　）

• A． 弹簧储存的弹性势能为E_p=50J
• B． 小球冲出弧形槽最高点后做竖直上抛运动，上升的最大高度为h=1.8m
• C． 小球再次落回到弧形槽时，弧形槽向前运动了6m
• D． 小球脱离弧形槽后向右运动，会再次压缩弹簧

Answer 1

分析 弹簧储存的弹性势能等于小球离开弹簧时的动能，根据机械能守恒求出．小球弧形槽AB上上滑的过程中，系统水平方向不受外力，所以系统水平方向上动量守恒，由动量守恒定律和机械能守恒定律列出等式求出小球滑离弧形槽时两者的速度．由运动学规律求出小球上升的最大高度和在空中运动的时间，从而求得小球再次落回到弧形槽时弧形槽向前．由动量守恒定律和机械能守恒定律求出小球脱离圆弧槽时的速度，分析小球能否再次压缩弹簧．

解答 解：A、弹簧储存的弹性势能为：E_p=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×1{0}^{2}$J=50J，故A正确．
B、小球上升到最大高度时与圆弧槽速度相同，取水平向左为正方向，由水平动量守恒得：
mv₀=（m+M）v
代入数据可得：v=5m/s
由机械能守恒定律得：
mg（R+h）+$\frac{1}{2}$（m+M）v²=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得上升的最大高度为 h=1.8m，故B正确．
C、由 h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×1.8}{10}}$=0.6s
所以小球在空中运动的总时间为：T=2t=1.2s
小球再次落回到弧形槽时，弧形槽向前运动的距离为：x=vT=5×1.2m=6m，故C正确．
D、设小球脱离弧形槽时，小钢球和圆弧槽的速度分别为v₁和v₂．取水平向右为正方向，根据系统水平方向上动量守恒和机械能守恒得 
mv₀=mv₁+Mv₂．
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$Mv₂²．
联立并代入数据解得：v₁=0，v₂=10m/s
所以小球脱离弧形槽后静止，不会再次压缩弹簧．故D错误．
故选：ABC

点评 解决本题的关键是要明确系统的水平动量守恒，机械能也守恒，当小球到达最高点时两者速度相同．本题类似于弹性碰撞，由于两个物体的质量相等，所以脱离后两者交换速度．