Question

17．已知一人造地球卫星绕地球做圆周运动的周期为T，地球半径为R，地球表面重力加速度为g．
（1）求人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r．
（2）若人造地球卫星在地球表面附近做匀速圆周运动，求地球的平均密度p．

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力求出人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的半径．
根据万有引力等于重力求出地球的质量，结合地球的体积求出地球的密度．

解答 解：（1）根据万有引力提供向心力得$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，
又GM=gR²，
解得r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．
（2）地球的质量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，
则地球的密度$ρ=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3g}{4πRG}$．
答：（1）人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的半径为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．
（2）地球的密度为$\frac{3g}{4πRG}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力提供向心力，2、万有引力等于重力，并能灵活运用．