Question

2．如图，两个侧壁绝热、顶部和底部都导热的相同汽缸直立放置，汽缸底部和顶部均有细管连通，顶部的细管带有阀门K．两汽缸的容积均为V₀，汽缸中各有一个绝热活塞（质量不同，厚度可忽略）．开始时K关闭，两活塞下方和右活塞上方充有气体（可视为理想气体），压强分别为p₀和$\frac{{ρ}_{0}}{3}$；左活塞在汽缸正中间，其上方为真空； 右活塞上方气体体积为$\frac{{v}_{0}}{4}$．现使汽缸底与一恒温热源接触，平衡后左活塞升至汽缸顶部，且与顶部刚好没有接触；然后打开K，经过一段时间，重新达到平衡．已知外界温度为T₀，不计活塞与汽缸壁间的摩擦．求：
（1）恒温热源的温度T；
（2）重新达到平衡后左汽缸中活塞上方气体的体积V_x．

Answer 1

分析 （1）两活塞下方封闭的气体等压变化，利用盖吕萨克定律列式求解；
（2）分别以两部分封闭气体，利用玻意耳定律列式求解．

解答 解：（1）与恒温热源接触后，在K未打开时，右活塞不动，两活塞下方的气体经历等压过程，
由盖吕•萨克定律得：$\frac{\frac{5}{4}{V}_{0}}{{T}_{0}}$=$\frac{\frac{7}{4}{V}_{0}}{T}$…①
解得：T=$\frac{7}{5}$T₀…②
 （2）由初始状态的力学平衡条件可知，左活塞的质量比右活塞的大．
打开K后，左活塞必须升至气缸顶才能满足力学平衡条件．
气缸顶部与外界接触，底部与恒温热源接触，两部分气体各自经历等温过程，
设在活塞上方气体压强为p，由玻意耳定律得：pV₀=$\frac{{p}_{0}}{3}$•$\frac{{V}_{x}}{4}$…③
对下方气体由玻意耳定律得：（p+p₀）（2V₀-Vx）=p₀•$\frac{7}{4}$V₀…④
联立③④式得：6V_X²-V₀V_X-V₀²=0，
解得：V_X=$\frac{1}{2}$V₀，V_X=-$\frac{1}{3}$V₀不合题意，舍去．
答：（1）恒温热源的温度T为$\frac{7}{5}$T₀；
（2）重新达到平衡后左汽缸中活塞上方气体的体积V_x为$\frac{1}{2}$V₀．

点评 本题涉及两部分气体状态变化问题，除了隔离研究两部分之外，关键是把握它们之间的联系，比如体积关系、温度关系及压强关系．