Question

（2007?扬州模拟）有人设想在地球赤道上垂直于地球表面竖起一根刚性的长杆，杆子的长度是地球半径的若干倍．长杆随地球一起自转．在长杆上距地面高度为h=R（R为地球半径）处，悬挂一个摆长为L，质量为m的单摆（L远远小于R）．设地球半径R、地球表面的重力加速度g地球的自转周期T₀均为已知，
（1）悬挂单摆处随地球自转的向心加速度多大？
（2）该单摆的振动周期为多少？
（3）单摆悬挂于长杆上距地球表面的高度H为多高处，单摆就无法振动？

Answer 1

分析：（1）由于长杆随地球一起自转，与地球自转角速度相同，h=R处的向心加速度用公式a=ωr计算即可．
（2）h=R处的重力加速度就等于万有引力产生的加速度减去物体随地球自转时的向心加速度．先计算出万有引力产生的加速度g′=

GM

4R2

，所以h=R处的重力加速度g″=g′-a₁，
再根据单摆周期公式T=2π

l g″

求出振动周期．
（3）在地球的同步卫星轨道上引力加速度就是随地球自转的向心加速度．所以同步卫星轨道上的重力加速度g″=g′-a₁=0，即单摆在地球同步卫星轨道上无法振动．
根据万有引力提供向心力G

Mm

(R+H)2

=m(

2π

T0

)2(R+H)，化简可得H的值．

解答：解：（1）由于长杆随地球一起自转，与地球自转角速度相同，h=R处的向心加速度应为
a1=ω 2?2R=(

2π

T

)2?2R=

8π2R

T02

（2）h=R处的重力加速度就等于万有引力产生的加速度减去物体随地球自转时的向心加速度．
万有引力产生的加速度g′=

GM

4R2

=

gR2

4R2

=

g

4

所以h=R处的重力加速度g″=g′-a1=

g

4

-

8π2R

T02

由单摆周期公式求出振动周期T=2π

l g 4 - 8π2R T02

（3）在地球的同步卫星轨道上引力加速度就是随地球自转的向心加速度．
则同步卫星轨道上的重力加速度g″=g′-a₁=0．故单摆在地球同步卫星轨道上无法振动．
由G

Mm

(R+H)2

=m(

2π

T0

)2(R+H)
解得H=

3	GMT02 4π2

-R=

3	gR2T02 4π2

-R
答：（1）悬挂单摆处随地球自转的向心加速度为

8π2R

T02

．
（2）该单摆的振动周期为2π

l g 4 - 8π2R T02

．
（3）单摆悬挂于长杆上距地球表面的高度H为

3	gR2T02 4π2

-R处，单摆就无法振动．

点评：考查单摆周期公式，要理解单摆的周期公式的g的物理含义；不能生搬硬套公式，同时要知道同步轨道上引力加速度就是随地球自转的向心加速度．