题目内容

如图所示,位于竖直平面内的
1
4
圆弧光滑轨道,半径为R,轨道的最低点B的切线沿水平方向,轨道上端A距水平地面高度为H.质量为m的小球(可视为质点)从轨道最上端A点由静止释放,经轨道最下端B点水平飞出,最后落在水平地面上的C点处,若空气阻力可忽略不计,重力加速度为g.求:
(1)小球运动到B点时,轨道对它的支持力多大;?
(2)小球落地点C与B点的水平距离x为多少;?
(3)比值
R
H
为多少时,小球落地点C与B点水平距离x最远;该水平距离最大值是多少.

(1)小球从A点运动到B点的过程中,机械能守恒,设在B点的速度为vB,根据机械能守恒定律有mgR=
1
2
mvB2
设小球在B点时所受轨道的支持力为FN,对小球在B点根据牛顿第二定律有
FN-mg=m
v2B
R

联立可解得FN=3mg
(2)小球离开B点后做平抛运动.
沿竖直方向有H-R=
1
2
gt2

沿水平方向有x=vBt
联立解得x=2
R(H-R)

(3)由x=2
R(H-R)
可导出x=
H2-(2R-H)2

R
H
=
1
2
时,x有最大值.
x的最大值xm=H
答:(1)小球运动到B点时,轨道对它的支持力为3mg;?
(2)小球落地点C与B点的水平距离x为2
R(H-R)
;?
(3)比值
R
H
等于
1
2
时,小球落地点C与B点水平距离x最远;该水平距离最大值是H.
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