Question

【题目】如图所示在竖直平面内，光滑曲面AB与长度l=3m的水平传送带BC平滑连接于B点，传送带BC右端连接内壁光滑、半径r=0.55m的四分之一细圆管CD，圆管内径略大于物块尺寸，管口D端正下方直立一根劲度系数为k=50N/m的轻弹簧，弹簧一端固定，另一端恰好与管口D端平齐。一个质量为m=0.5kg的物块（可视为质点）从曲面上P点静止释放，P点距BC的高度为h=0.8m。（已知弹簧的弹性势能Ep与弹簧的劲度系数k和形变量x的关系是：Ep=kx2，水平传送带与物间的动摩擦因数μ=0.4，重力加速度g取10m/s2。）求：

（1）若传送带静止不动物块在水平传送带BC上前进的距离；

（2）若传送带向右匀速运动的速度v0=2m/s，物块刚进入细圆管CD时对管道的弹力，物块在压缩弹簧过程中的最大速度（压缩弹簧过程未超过弹性限度）；

（3）若传送带向右匀速运动的速度v0=2m/s，物块从第一次进入细圆管后将做周期性的运动。由于物块与传送带发生相对运动，一个周期内带动传送带的电动机多消耗的电能。

Answer 1

【答案】（1）2m（2）4m/s（3）4J

【解析】

（1）物块从P点静止释放到停在传送带某处的过程中，根据动能定理得mgh-μmgx=0-0

解得x =2m；

（2）若传送带向右匀速运动的速度v0=2m/s，因为传送带长度l=3m大于2m，所以物块到达C点的速度vC=2m/s

物块经过管道C点，根据牛顿第二定律得mg-N=m

解得，管道对物块的弹力N=N≈1.36N，方向竖直向上

根据牛顿第三定律得知，物块对管道的弹力大小N′=N≈1.36N，方向竖直向下。

物块从C点运动到速度最大的过程，根据平衡条件得mg =kx′

得x′=0.1m

由动能定理得mg(r+x′)-=-

解得，最大速度vm=4m/s

（3）物块再次回到C点的速度仍为2m/s，它在传送带上先向左匀减速运动到速度为零，再向右匀加速运动至C点，速度大小仍为2m/s，因此，电动机多消耗的电能即为物块与传送带之间的摩擦生热.

物块向左减速的位移x1===0.5m

物块与传送带间的相对位移△x1=x1+v0

解得△x1=1.5m

物块向右加速运动的位移x2==0.5m

物块与传送带间的相对位移△x2=v0-x2=0.5m

因此，一个周期内带动传送带的电动机多消耗的电能是E=μmg(△x1+△x2)

解得:E =4J