Question

15．如图所示，开口向上的汽缸C静置于水平桌面上，用一横截面积S=50cm²的轻质活塞封闭了一定质量的理想气体，一轻绳一端系在活塞上，另一端跨过两个定滑轮连着一劲度系数k=2800N/m的竖直轻弹簧A，A下端系有一质量m=14kg的物块B．开始时，缸内气体的温度t₁=27℃，活塞到缸底的距离L₁=120cm，弹簧恰好处于原长状态．已知外界大气压强恒
为p₀=1.0×10⁵ Pa，取重力加速度g=10m/s²，不计一切摩擦．现使缸内气体缓慢冷却，求：
（1）当B刚要离开桌面时汽缸内封闭气体的温度；
（2）气体的温度冷却到-93℃时B离桌面的高度H．（结果保留两位有效数字）

Answer 1

分析 （1）B刚要离开地面时，对B根据平衡条件求出弹簧的伸长量，对活塞根据平衡条件求出B刚要离开桌面时汽缸内气体的压强，根据理想气体的状态方程即可求解B刚要离开桌面时汽缸内封闭气体的温度；
（2）气体冷却过程中，气缸内封闭气体发生的是等压变化，根据盖-吕萨克定律列式即可求解；

解答 解：（1）B刚要离开桌面时弹簧拉力为kx₁=mg，
解得${x}_{1}^{\;}=\frac{mg}{k}$=0.05m
由活塞受力平衡得p₂S=p₀S-kx₁，
解得：${p}_{2}^{\;}={p}_{0}^{\;}-\frac{mg}{S}$=$1.0×1{0}_{\;}^{5}-\frac{140}{50×1{0}_{\;}^{-4}}$=$7.2×1{0}_{\;}^{4}$${p}_{a}^{\;}$
根据理想气体状态方程有$\frac{{p}_{0}^{\;}{L}_{1}^{\;}S}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{p}_{2}^{\;}（{L}_{1}^{\;}-{x}_{1}^{\;}）S}{{T}_{2}^{\;}}$，
代入数据：$\frac{1.0×1{0}_{\;}^{5}×120S}{300}=\frac{7.2×1{0}_{\;}^{4}（120-5）S}{{T}_{2}^{\;}}$
代入数据解得T₂=207 K，
当B刚要离开桌面时缸内气体的温度t₂=-66℃
（2）由（1）得x₁=5 cm，当温度降至-66℃之后，若继续降温，则缸内气体的压强不变，
根据盖-吕萨克定律，有，$\frac{（{L}_{1}^{\;}-{x}_{1}^{\;}）S}{{T}_{2}^{\;}}=\frac{（{L}_{1}^{\;}-{x}_{1}^{\;}-H）}{{T}_{3}^{\;}}$S
代入数据：$\frac{（120-5）S}{207}=\frac{（120-5-H）S}{273-93}$
代入数据解得H=15 cm
答：（1）当B刚要离开桌面时汽缸内封闭气体的温度为-66℃；
（2）气体的温度冷却到-93℃时B离桌面的高度H为15cm

点评 本题关键是确定封闭气体初末状态的各个状态参量，确定状态变化的过程，然后根据理想气体状态方程或气体实验定律列式求解即可