Question

19．如图所示，倾角为α的光滑固定斜面，斜面上相隔为d的平行虚线MN与PQ间有大小为B的匀强磁场，方向垂直斜面向下．一质量为m，电阻为R，边长为L的正方形单匝纯电阻金属线圈，线圈在沿斜面向上的恒力作用下，以速度v匀速进入磁场，线圈ab边刚进入磁场和cd边刚要离开磁场时，ab边两端的电压相等．已知磁场的宽度d大于线圈的边长L，重力加速度为g．求
（1）线圈进入磁场的过程中，通过ab边的电量q；
（2）恒力F的大小；
（3）线圈通过磁场的过程中，ab边产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）根据电量公式、欧姆定律和法拉第电磁感应定律结合求解电量．
（2）线圈匀速进入磁场，受力平衡，根据平衡条件和安培力公式求解．
（3）根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律结合得到线圈ab边刚进入磁场和cd边刚要离开磁场时，ab间的电压与速度的关系，从而求得cd边刚要离开磁场时的速度，再由动能定理和功能关系求解热量．

解答 解：（1）线圈进入磁场过程中，通过线框横截面的电量 $q=\overline I△t$ ①
根据欧姆定律有  $\overline I=\frac{\overline E}{R}$ ②
根据法拉第电磁感应定律  $\overline E=N\frac{△ϕ}{△t}$ ③
线框进入磁场过程中的磁通量变化△ϕ=BL² ④
由①②③④式解得  $q=\frac{{B{L^2}}}{R}$ ⑤
（2）线圈匀速进入磁场，根据平衡有   F=mgsinα+F_安 ⑥
线圈受到的安培力    F_安=BIL⑦
根据欧姆定律  $I=\frac{E}{R}$⑧
根据法拉第定磁感应定律  E=BLv ⑨
由⑥⑦⑧⑨式解得  $F=mgsinα+\frac{{{B^2}{L^2}v}}{R}$  ⑩
（3）线圈ab边刚进入磁场时，根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律 ${U_{ab}}=\frac{3}{4}BLv$
线圈cd边刚要离开磁场时，根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律 ${U_{ab}}=\frac{1}{4}BL{v_1}$
线圈通过磁场的过程中，根据动能定理有 $F（L+d）-mg（L+d）sinα-{W_安}=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}m{v^2}$
根据安培力做功和电热的关系有  W_安=Q_总
根据热量分配关系有   $Q=\frac{1}{4}{Q_总}$
解得$Q=\frac{{{B^2}{L^2}v（L+d）}}{4R}-m{v^2}$
答：
（1）线圈进入磁场的过程中，通过ab边的电量q是$\frac{B{L}^{2}}{R}$；
（2）恒力F的大小为mgsinα+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$；
（3）线圈通过磁场的过程中，ab边产生的热量Q为 $\frac{{B}^{2}{L}^{2}v（L+d）}{4R}$-mv²．

点评 本题中感应电荷量的结论可在会推导的基础上记牢，经常用到．分析清楚线圈的运动过程是正确解题的关键，解题时要注意：E=BLv、欧姆定律、安培力公式、平衡条件、动能定理与能量守恒定律的应用，求热量时，要注意线框进入和穿出磁场两个过程都要产生焦耳热．