题目内容
【题目】同步回旋加速器结构如图所示,轨道磁铁产生的环形磁场在同一时刻处处大小相等,带电粒子在环形磁场的控制下沿着固定半径的轨道做匀速圆周运动,穿越沿途设置的高频加速腔从中获取能量.如题图所示.同步加速器中磁感应强度随被加速粒子速度的增加而增加,高频加速电场的频率与粒子回旋频率保持同步.已知圆形轨道半径为R,被加速粒子的质量为m、电荷量为+q,加速腔的长度为L,且L<<R,当粒子进入加速腔时,加速电压的大小始终为U,粒子离开加速腔时,加速腔的电压为零.已知加速腔外无电场、腔内无磁场;不考虑粒子的重力、相对论效应对质量的影响以及粒子间的相互作用.若在t=0时刻将带电粒子从板内a孔处静止释放,求:
(1)带电粒子第k次从b孔射出时的速度的大小vk;
(2)带电粒子第k次从b孔射出到第(k+1)次到达b孔所经历的时间;
(3)带电粒子第k次从b孔射出时圆形轨道处的磁感应强度Bk的大小;
(4)若在a处先后连续释放多个上述粒子,这些粒子经过第1次加速后形成一束长度为l1的粒子束(l1<L),则这一束粒子作为整体可以获得的最大速度vmax.
【答案】(1) (2)πR (3) (4)
【解析】
(1)粒子在电场中被加速,由动能定理得:kqU=mvk2﹣0
解得:
(2) 粒子做圆周运动的周期:
由题意可知,加速空腔的长度:L<<R,
粒子在空腔的运动时间可以忽略不计,下一次经过b孔的时间间隔等于粒子在磁场中做圆周运动的周期:
(3)粒子第k次从b孔射出,粒子被电场加速k'次,由动能定理得:kqU=mvk2﹣0
解得:
粒子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律得:qvkBk=,解得:
(4)粒子第一次加速后的速度:
从第一个粒子进入加速空腔到最后一个粒子进入加速空腔的时间:,
由可知,粒子被第二次加速后的速度:
粒子被二次加速后这一束粒子的长度:l2=v2t1=l1
粒子被第三次加速后的速度:
从第一个粒子进入加速空腔到最后一个粒子进入加速空腔的时间:
粒子被三次加速后这一束粒子的长度:l3=v3t2=l1
粒子被第四次加速后的速度:
从第一个粒子进入加速空腔到最后一个粒子进入加速空腔的时间:
粒子被三次加速后这一束粒子的长度:l4=v4t3=l1
…
粒子被第k次加速后的速度:
从第一个粒子进入加速空腔到最后一个粒子进入加速空腔的时间:
粒子被k次加速后这一束粒子的长度:lk=vktk﹣1=l1
当粒子束的长度:lk=l1=L,即:k=时粒子束的速度最大,
由动能定理得:qU=mvmax2﹣0,解得: