Question

如图所示，若在湖水里固定一细长圆管，管内有一活塞，它的下端位于水面上．活塞的底面积S=1cm²，质量不计，水面上的大气压强p₀=1.0×10⁵Pa．现把活塞缓慢地提高H=15m，水上升h=10m，则拉力对活塞做功为

 

 J．

Answer 1

分析：由于大气压强的限制根据P=ρgh的变形式求出活塞上升时，管内、外水位差的最大值，由于河水体积很大且水管的内径很细，故管内水位上升时，管外水位的降低量h_外可以忽略不计，得出管内水面（或活塞）相对于河岸的升高量和真空部分的高度．
水上升阶段：以活塞为研究对象，它受到向上的力F、向下的大气压力和管内的水向上的压力，根据力的平衡条件得出任意时刻管内、外水位差为h时拉力的表达式，进一步求出力F的平均值，根据W=Fs求出此阶段拉力做的功．
水不上升阶段：力F做的功等于活塞克服大气压力做的功，根据F=PS和W=Fs求出此阶段拉力做的功；整个过程中，力F做的功等于两者之和．

解答：解：（1）由于大气压强的限制，活塞上升时，
管内、外水位差存在一个最大值h=10m，所以管内水面（或活塞）相对于河岸的升高量等于管内、外水位差，即h₁=h=10m；
活塞继续上升了h₂=H-h₁=5m时，水面不动，活塞与水之间是真空．
（2）水上升阶段：设任意时刻向下的大气压力和管内的水向上的压力为F_下、F_上，管内、外水位差为h，则：
则有F_下=p₀S，F_上=（p₀-ρgh）S，
由于活塞始终平衡，故F-F_下+F_上=0，即F-p₀S+（p₀-ρgh）S=0，
解得：F=ρghS．
可见，力F跟h成正比，F在h₁距离上的平均值为：F=

1

2

ρgh₁S．
F在h₁距离上的功为：W_F=Fh₁=

1

2

gh₁S?h₁=

1

2

×1.0×10³×10×10m×1×10^-4×10=50J．
（3）水不上升阶段：力F做的功等于活塞克服大气压力做的功，
故有：W_F′=p₀Sh₂=1.0×10⁵×1×10^-4×5=50J．
所以整个过程中，力F做的功等于：W_F+W_F′=50J+50J=100J．
故答案为：100．

点评：本题关键是知道活塞上升时会分两个阶段，即水上升阶段和水不上升阶段；难点是会对活塞进行受力分析得出水上升阶段拉力的大小．