Question

（2013?兰州模拟）在xOy平面内，第Ⅲ象限内的直线OM是电场与磁场的边界，OM与x轴负方向成45°角．在x＜0且OM的左侧空间存在着x轴负方向的匀强电场，场强大小为E=50N/C，在y＜0且OM的右侧空间存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B=0.2T，如图所示．一不计重力的带负电的微粒，从坐标原点O沿y轴负方向以v₀=4×10³m/s的初速度进入磁场，已知微粒的带电荷量为q=-4×10^-18C，质量为m=1×10^-24kg．求：
（1）带电微粒第一次经过磁场边界时的位置坐标及经过磁场边界时的速度方向；
（2）带电微粒最终离开电、磁场区域时的位置坐标；
（3）带电微粒在电、磁场区域运动的总时间（结果可以保留v₁=3m/s）．

Answer 1

分析：（1）由洛仑兹力充当向心力可得出粒子在转动半径，再由几何关系可得出微粒第一次经过磁场边界时的位置坐标；
（2）粒子进入电场后做类平抛运动，根据类平抛的规律可得出最终离开时的坐标；
（3）根据粒子的运动过程，分别求得电场和磁场中的时间，则可求得总时间．

解答：解：
（1）第一次经过磁场边界上的A点，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得：
qv₀B=m

v 2 0

r

，
解得：
r=

mv0

qB

=

1×10-24×4×103

4×10-18×0.2

m=5×10^-3m．               
A点位置坐标为（-5×10^-3m，-5×10^-3m）．   
粒子运动轨迹如图：
                       
可知经过磁场边界时速度方向与OM夹角为45⁰；与电场平行沿x轴负方向．          
（2）微粒从C点沿y轴正方向进入电场，做类平抛运动
a=

qE

m

，
解得：
a=2.0×10⁸m/s²．
由运动学：
△x=

1

2

a

t

2 1

=2r，
解得：
t₁=1×10^-5s．                               
△y=v₀t₁．
代入数据解得：
△y=0.04m，
y=△y-2r=（0.04-2×5×10^-3）m=3.0×10^-2m．                       
离开电、磁场时的位置D的坐标为（0，3.0×10^-2m）．                  
（3）带电微粒在磁场中运动的周期T=

2πm

qB

，
在磁场中运动的时间t₂=t_OA+t_AC=

1

4

T+

3

4

T，
代入数据解得：t₂=T=

π

4

×10-5s．               
带电微粒第一次进入电场中做直线运动的时间
t₃=2

v0

a

=4.0×10^-5s，
带电微粒在电、磁场区域运动的总时间
t=t₁+t₂+t₃=（5+

π

4

）×10^-5s．
答：
（1）带电微粒第一次经过磁场边界时的位置坐标为（-5×10^-3m，-5×10^-3m），经过磁场边界时的速度方向电场平行沿x轴负方向；
（2）带电微粒最终离开电、磁场区域时的位置坐标为（0，3.0×10^-2m）；
（3）带电微粒在电、磁场区域运动的总时间（5+

π

4

）×10^-5s．

点评：重点掌握在磁场中运动时几何关系的应用，在电磁场中，运动轨迹的分析能决定题目的成败，同时电场中注意由类平抛运动的规律求解．