题目内容
如图所示，在足够大的空间中存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，其方向垂直纸面向里．在纸面内固定放置一绝缘材料制成的边长为L的等边三角形框架DEF，DE中点S处有一粒子发射源，发射粒子的方向在纸面内且垂直于DE边向下，如图所示，所发射粒子的带电量为+q，质量为m，但速度v有各种不同的数值．若这些粒子与三角形框架碰撞时均无能量损失，且每一次碰撞时速度方向都垂直于被碰的边，试求：（1）带电粒子的速度v为多大时，能够打到E点？
（2）为使S点发出的粒子最终又回到S点，且运动时间最短，v应为多大？最短时间为多少？
分析：（1）根据粒子在磁场中运动的半径公式，结合几何关系得出半径与SE的关系，从而求出粒子的速度．
（2）粒子在磁场中运动的周期与速度无关，当粒子在磁场中偏转的角度最小时，运动时间最短，可知当粒子在磁场中运动的轨道半径等于
时，运动的时间最短，结合圆心角求出运动的最短时间，结合半径公式求出速度的大小．
（2）粒子在磁场中运动的周期与速度无关，当粒子在磁场中偏转的角度最小时，运动时间最短，可知当粒子在磁场中运动的轨道半径等于
| L |
| 2 |
解答：解：（1）根据洛伦兹力提供向心力得：qvB=m
解得：R=
．
根据几何关系有：
L=n×2R (n=1，2，3…)
解得：v=
（n=1，2，3…）
（2）依题意粒子做圆周运动的轨道半径：R=
×
(n=1，2，3，…)
在磁场中粒子做圆周运动的周期：T=
，与粒子的速度无关．
由t=
T知，粒子在磁场中偏转的角度最小时，运动的时间最短，
这时n=1，则R=
=
，即有：v=
．
粒子以三角形的三个顶点为圆心运动，相邻两次碰撞的时间间隔为t=
T，第三次碰撞回到S点，
则最短时间为：tmin=3t=
T=
．
答：（1）带电粒子的速度v=
（n=1，2，3…），能够打到E点．
（2）为使S点发出的粒子最终又回到S点，且运动时间最短，v=
，最短时间为tmin=
．
| v2 |
| R |
解得：R=
| mv |
| qB |
根据几何关系有：
| 1 |
| 2 |
解得：v=
| qBL |
| 4nm |
（2）依题意粒子做圆周运动的轨道半径：R=
| L |
| 2 |
| 1 |
| 2n-1 |
在磁场中粒子做圆周运动的周期：T=
| 2πm |
| qB |
由t=
| θ |
| 2π |
这时n=1，则R=
| L |
| 2 |
| mv |
| qB |
| qBL |
| 2m |
粒子以三角形的三个顶点为圆心运动，相邻两次碰撞的时间间隔为t=
| 5 |
| 6 |
则最短时间为：tmin=3t=
| 5 |
| 2 |
| 5πm |
| qB |
答：（1）带电粒子的速度v=
| qBL |
| 4nm |
（2）为使S点发出的粒子最终又回到S点，且运动时间最短，v=
| qBL |
| 2m |
| 5πm |
| qB |
点评：解决本题的关键得出粒子在磁场中运动的半径通项表达式，确定半径为何值时恰好打在E点，何时能够回到S点，结合半径公式和周期公式进行求解．
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