Question

用金属制成的线材（如钢丝、钢筋）受到拉力会伸长，十七世纪英国物理学家胡克发现，金属丝或金属杆在弹性限度内的伸长与拉力成正比，这就是著名的胡克定律．这一发现为后人对材料的研究奠定了重要基础．现有一根用新材料制成的金属杆，长为4m，横截面积为0.8cm²，设计要求它受到拉力后的伸长不超过原长的1/1000，由于这一拉力很大，杆又较长，直接测试有困难，就选用同种材料制成样品进行测试，通过测试，取得数据如下：

长度L	拉力F伸长x截面积S	250N	500N	750N	1000N
1m	0.05cm2	0.04cm	0.08cm	0.12cm	0.16cm
2m	0.05cm2	0.08cm	0.16cm	0.24cm	0.32cm
3m	0.05cm2	0.12cm	0.24cm	0.36cm	0.48cm
1m	0.10cm2	0.02cm	0.04cm	0.06cm	0.08cm
1m	0.20cm2	0.01cm	0.02cm	0.03cm	0.04cm

（1）根据测试结果，推导出线材伸长x与材料的长度L、材料的截面积S及拉力F的函数关系．
（2）在寻找上述关系中，你运用了哪种科学方法？
（3）通过对样品的测试，求出新材料制成的金属细杆能承受的最大拉力．

Answer 1

分析：由题可知伸长量x与样品的长度、横截面积、所受拉力都有关系，涉及的变量较多，因此采用“控制变量法”来确定它们之间的正、反比关系，然后将各种情况进行汇总，再运用比值定义法初步确定这几个量之间的数量关系，然后根据所得公式来判断样品能承受的最大拉力，以及与什么因素有关．

解答：解：（1）由表格中的数据可得
当金属材料的截面积S、拉力F不变时，金属材料伸长量x与长度L成正比，即x∝L；
当金属材料的截面积S、长度L不变时，金属材料伸长量x与拉力F成正比，即x∝F；
当金属材料的长度L、拉力F不变时，金属材料伸长量x与截面积S成反比，即x∝

1

S

．
综上所述，有x∝

FL

S

设比例系数为k，则所求的线材伸长量x满足的关系是x=k

FL

S

取L=1m，S=0.05cm²=5×10^-6m²，F=250N，x=0.04cm=4×10^-4m
代入上式得k=8×10^-12m²/N．       
所以x=8×10^-12×

FL

S

                          
（2）在寻找上述关系中，先运用了控制变量法：找伸长量x与某一个量的关系时先控制其他物理量不变；而后运用了归纳法，总结出最后的结论．              
（3）对新材料制成的金属细杆，长度L=4m，截面积S=0.8cm²=8×10^-5m²，
最大伸长量x=

4

1000

m=4×10-3m代入导出的公式x=k

FL

S

有    
金属细杆承受的最大拉力是10000N．
答：（1）线材伸长x与材料的长度L、材料的截面积S及拉力F的函数关系是x=8×10^-12×

FL

S

．
（2）在寻找上述关系中，运用了控制变量法．
（3）通过对样品的测试，新材料制成的金属细杆能承受的最大拉力是10000N．

点评：本题的难度很大，题中共涉及4个变量，在解题过程中，综合应用了控制变量法、归纳法、比值定义法来进行分析、解答，对同学的综合素质要求很高，是一道考查能力的好题．