Question

有一个竖直放置的圆形轨道，半径为R，由左右两部分组成．如图所示，右半部分AEB是光滑的，左半部分BFA是粗糙的．现在最低点A给一个质量为m的小球一个水平向右的初速度，使小球沿轨道恰好运动到最高点B，小球在B点又能沿BFA轨道回到点A，到达A点时对轨道的压力为4mg．
（1）求小球在A点的速度V₀
（2）求小球由BFA回到A点的速度．
（3）求小球由BFA回到A点的过程中，克服摩擦力做功的大小．

Answer 1

分析：（1）小球沿轨道恰好运动到最高点B，则在B点，重力提供向心力，由牛顿第二定律与动能定理可以求出在A点时的速度．
（2）小球回到A点，由牛顿第二定律可以求出到达A点的速度．
（3）小球由BFA回到A点过程，应用动能定理可以求出摩擦力的功．

解答：解：（1）在B点，由牛顿第二定律得：mg=m

vB2

R

…①，
从A到B由动能定理得：-2mgR=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 0

-

1

2

m

v

2 0

…②，
联立①、②求解得：v0=

5gR

；
（2）在A点，由牛顿第二定律得：FN-mg=m

v 2 A

R

…③，
将F_N=4mg代入解得：vA=

3gR

；
（3）设摩擦力做得功为W_f，小球从B→F→A的过程中由动能定理可得：
2mgR+W_f=

1

2

m

v

2 A

-

1

2

m

v

2 B

…④，
解得：W_f=-mgR，
故小球从B→F→A的过程中克服摩擦力做功大小为W_f=mgR．
答：（1）求小球在A点的速度为

5gR

；
（2）求小球由BFA回到A点的速度

3gR

．
（3）求小球由BFA回到A点的过程中，克服摩擦力做功的mgR．

点评：题为圆周运动和机械能的结合，只要掌握了相关知识，挖掘出题中的关键字句隐含的条件，运用圆周运动和机械能的知识即可解决．