Question

．（19分）如图，在区域I（0≤x≤d）和区域II（d<x≤2d）内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，方向相反，且都垂直于Oxy平面。一质量为m、带电荷量q（q＞0）的粒子a于某时刻从y轴上的P点射入区域I，其速度方向沿x轴正向。已知a在离开区域I时，速度方向与x轴正方向的夹角为30°；此时，另一质量和电荷量均与a相同的粒子b也从P点沿x轴正向射入区域I，其速度大小是a的1/3。不计重力和两粒子之间的相互作用力。求

⑴粒子a射入区域I时速度的大小；

⑵当a离开区域II时，a、b两粒子的y坐标之差。

 

Answer 1

【答案】

 

【解析】（1）设粒子a 在I 内做匀速圆周运动的圆心为C（在y轴上），半径为R_a1，粒子速率为v_a，运动轨迹与两磁场区域边界的交点为P′，如图，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得

    ①

由几何关系得      ②

       ③

式中，，由①②③式得      ④

（2）设粒子a在II内做圆周运动的圆心为Oa,半径为R_a1 ，射出点为P_a（图中未画出轨迹），。由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得

          ⑤

由①⑤式得       ⑥

C、P^/和O_a三点共线，且由⑥式知Oa点必位于⑦ 的平面上。由对称性知，Pa点与P^/点纵坐标相同，即      ⑧   式中，h是C点的y坐标。

设b在I中运动的轨道半径为R_b1 ，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得     ⑨

设a到达P_a点时，b位于P_b点，转过的角度为α。如果b没有飞出I，则

     ⑩        ⑪

式中，t 是a 在区域II 中运动的时间，而

    ⑫           ⑬

由⑤⑨⑩111213式得α=30⁰       ⑭

由①③⑨14式可见，b没有飞出。P_b点的y坐标为     ⑮

由①③⑧⑨1415式及题给条件得，a、b 两粒子的y 坐标之差为

        ⑯