Question

8．在质量为M的圆柱表面上，固定着一个质量为m的小重物，把这个圆柱放在倾角为α的斜面上，设斜面与圆柱间的动摩擦因数等于最大静摩擦因数μ，在保持圆柱静止的条件下，使倾角α最大，如图所示，试求：此时m和圆柱体中心线的连线与竖直方向的夹角θ必须符合什么样的关系式？

Answer 1

分析 对物体受力分析，作出受力分析图，应用力矩平衡条件与共点力作用下的物体平衡条件分析答题．

解答 解：受力分析如图所示，圆柱体刚好不滚动时，根据力矩平衡条件得：
MgRsinα=mgR（sinθ-sinα）
解得：$\frac{M}{m}$=$\frac{sinθ-sinα}{sinα}$=$\frac{sinθ}{sinα}$-1，
圆柱体刚好不沿斜面滑动、且刚好不滚动时，对AM、m系统，由平衡条件得：
（m+M）gsinα=μ（m+M）gcosα，
解得：μ=tanα，
解得：sinθ=$\frac{μ（M+m）}{m\sqrt{1+{μ}^{2}}}$；
答：此时m和圆柱体中心线的连线与竖直方向的夹角θ必须符合的关系式是sinθ=$\frac{μ（M+m）}{m\sqrt{1+{μ}^{2}}}$．

点评 本题是一道力学综合题，综合考查了力矩平衡条件、共点力的平衡条件的应用，对物体正确受力分析、应用力矩平衡条件与力的平衡条件可以解题．