Question

如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨单位长度电阻为r，导轨的端点O、O′用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的距离为．导轨处于垂直纸面向里的非匀强磁场中，磁场的磁感应强度B沿y方向大小不变，沿x方向均匀增强，即有B=kx，其中k为常数．一根质量为m、电阻不计的金属杆MN静止在坐标原点O、O′处．从t=0时刻，金属杆MN在拉力F作用下，以大小恒定为a的加速度在导轨上沿x方向无摩擦地滑动，滑动过程中杆保持与导轨垂直．求
（1）在时刻t金属杆MN产生的感应电动势大小；
（2）在时刻t金属杆MN所受的外力F；
（3）感应电动势的平均值与位移为x的函数关系；
（4）若在时刻t撤去拉力F，试说明金属杆MN此后做什么运动，并求此后电路发出的热量．

Answer 1

【答案】分析：（1）据题，杆以恒定的加速度a做匀加速运动，由v=at求出t时刻时杆的速度v，由x=at²求出杆通过的位移，此时B=kx，即可由E=Blv求出感应电动势的大小；
（2）根据题设条件求出此时回路中的总电阻，由闭合电路欧姆定律求出电流，安培力的大小F=BIl，根据牛顿第二定律求出外力F与t的关系．
（3）感应电动势的平均值由法拉第电磁感应定律求出．
（3）撤去拉力F，金属杆MN受到安培力作用而减速运动，动能转化为内能，由能量守恒定律求解热量．
解答：解：（1）在时刻t，有杆通过的位移大小为x=
此时B=kx=kat²，v=at
所以在t时刻金属杆MN产生的感应电动势大小为
   E=Blv=kla²t³
（2）据题知，在时刻t，回路的总电阻R=2xr=art²
所以在t时刻流经回路的感应电流大小为
   I==
根据右手定则判断知，感应电流方向为NMPQN（逆时针方向）．
在t时刻金属杆MN所受的安培力大小为
   F_安=BIl
代入解得，F_安=
根据牛顿第二定律得
   F-F_安=ma
解得 F=ma+
（3）位移为x时，杆运动的时间为△t=t=
由于B随x均匀变化，则感应电动势平均值为==
根据法拉第电磁感应定律得 ==，
又△S=lx
联立以上各式得
（4）撤去拉力F，金属杆MN受到安培力作用而减速运动，由能量守恒定律得
   Q=
答：
（1）在时刻t金属杆MN产生的感应电动势大小为kla²t³；
（2）在时刻t金属杆MN所受的外力F为ma+；
（3）感应电动势的平均值与位移为x的函数关系为；
（4）若在时刻t撤去拉力F，金属杆MN此后做减速运动，此后电路发出的热量为．
点评：本题是匀变速直线运动和电磁感应知识的综合，关键要掌握匀变速直线运动的位移公式、速度公式、法拉第电磁感应定律、右手定则等等知识．