Question

(12分)如图为宇宙中有一个恒星系的示意图，A为该星系的一颗星，它绕中央恒星O运动轨道近似为圆，天文学家观测得到A行星运动的轨道半径为R，周期为T   

(1)中央恒星O的质量是多大?
(2)长期观测发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t时间发生一次最大的偏离，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星B(假设其运行轨道与A在同一平面内，且与A的绕行方向相同)，它对A行星的万有引力引起A轨道的偏离．根据上述现象及假设，预测未知行星B绕中央恒星O运行轨道半径有多大?

Answer 1

（1）；（2）R₀

试题分析：（1）中央恒星质量为M，A行星质量为m，
则有=m()R  ①      2分
解得：M=       ②      2分
(2)由题意可知：A、B相距最近时,B对A的影响最大，且每隔t时间相距最近。
设B行星周期为T，则有：
-=1           ③         4分
解得：T_B=     ④       2分
设B行星的质量为m′。运动的轨道半径为R_B，则有
G=m′()R_B      ⑤        2分
由①、④、⑤可得：R_B=R₀      ⑥        2分