Question

如图所示，AOB是游乐场中的滑道模型，它位于竖直平面内，由两个半径都是R的1/4圆周连接而成，它们的圆心O₁,O₂与两圆弧的连接点O在同一竖直线上.O₂B沿水池的水面，O₂和B两点位于同一水平面上.一个质量为m的小滑块可由弧AO的任意位置从静止开始滑下，不计一切摩擦。

小题1:假设小滑块由A点静止下滑，求小滑块滑到O点时对O点的压力；
小题2:凡能在O点脱离滑道的小滑块，其落水点到O₂的距离如何；
小题3:若小滑块从开始下滑到脱离滑道过程中，在两个圆弧上滑过的弧长相等，则小滑块开始下滑时应在圆弧AO上的何处（用该处到O₁点的连线与竖直线的夹角的三角函数值表示).

Answer 1

小题1:3mg,方向竖直向下
小题2:R≤x≤2R
小题3:cosθ=0.8

（1）mgR=mv²  
F_O—mg=mv²/R     
联立解得：F_O="3mg " 2分
由牛顿第三定律得：压力大小为3mg,方向竖直向下。  1分
（2）从A点下滑的滑块到O点的速度为，设能脱离轨道的最小速度为v₁
则有：   mg=mv₁²/R,     得：v₁=   2分
 R=gt²        X=v_ot           联立得：R≤x≤2R    2分
(3) 如图所示，设滑块出发点为P₁，离开点为P₂，按题意要求O₁ P₁、O₂ P₂与竖直方向的夹角相等，设其为θ，若离开滑道时的速度为v，则滑块在P₂处脱离滑道的条件是

m=" mgcosθ "   1分
由机械能守恒 2mgR(1- cosθ)=mv²  1分
联立解得cosθ=0.8      1分