Question

坐标原点O处有一放射源，它向xOy平面内的x轴下方各个方向发射速度大小都是v₀的α粒子．α粒子的质量为m、电量为q；在0＜y＜d的区域内分布有指向y轴正方向的匀强电场，在y≥d的区域内分布有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度B=

4mv0

qd

，ab为一块很大的平面感光板，在磁场内平行于x
轴放置，如图所示．测得进入磁场的α粒子的速率均为2v₀，观察发现此时恰好无粒子打到ab板上．（α粒子的重力忽略不计）
（1）求电场强度的大小；
（2）求感光板到x轴的距离；
（3）磁感应强度为多大时所有粒子均能打到板上？并求出此时ab板上被α粒子打中的区域的长度．

Answer 1

分析：（1）根据动能定理求出电场强度大小．
（2）粒子沿x轴正方向射出的粒子进入磁场偏转的角度最大，若该粒子进入磁场不能打在ab板上，则所有粒子均不能打在ab板上．根据带电粒子在电场中类平抛运动，求出进入磁场中的偏转角度，结合几何关系得出轨道半径，从而得出感光板到x轴的距离．
（3）沿x轴负方向射出的粒子若能打到ab板上，则所有粒子均能打到板上．其临界情况就是此粒子轨迹恰好与ab板相切．根据带电粒子在磁场中运动的轨道半径大小得出磁场的宽度，从而确定出ab板移动的位置，根据几何关系求出ab板上被α粒子打中的区域的长度．

解答：解：（1）根据动能定理：Eqd=

1

2

mv_t²-

1

2

mv₀²
由于v_t=2v₀，可得：场强大小为E=

3mv02

2qd

；
（2）对于沿x轴负方向射出的粒子进入磁场时与x轴负方向夹角θ=

π

3

易知若此粒子不能打到ab板上，则所有粒子均不能打到ab板，因此此粒子轨迹必与ab板相切，

设半径为r，
根据洛伦兹力提供向心力：qv_tB=m

vt2

r

得：r=

1

2

d
则y=1.5r+d=

7d

4

；
（3）易知沿x轴正方向射出的粒子若能打到ab板上，则所有粒子均能打到板上，其临界情况就是此粒子恰好与ab板相切，

设半径为r′，
由几何知识：r′（1-cosθ）=

3d

4

=1.5r
qv_tB′=m

vt2

r

磁感应强度为原来的

1

3

，解得：B′=

4mv0

3qd

恰好所有粒子均能打到板上，
其在电场中沿x轴方向的位移x₁=v₀t=v₀

2d ( Eq m )

=

2 3 d

3

ab板上被打中区域的长度L=2x₁+r′=

4 3 d

3

+

3d

2

答：（1）电场强度的大小

3mv02

2qd

；
（2）感光板到x轴的距离

7d

4

；
（3）磁感应强度为

4mv0

3qd

时所有粒子均能打到板上，此时ab板上被α粒子打中的区域的长度

4 3 d

3

+

3d

2

．

点评：本题考查了带电粒子在电场和磁场中的运动，关键确定粒子运动的临界情况，通过几何关系解决，对学生数学几何能力要求较高．