Question

质量为m的小球悬挂于O点，悬线长为l，如图建立平面直角坐标系xOy，y轴沿悬线竖直向下。现将小球拉到（l,0）点后无初速释放，不计空气阻力和钉子的直径，试计算：

（1）如果在（0,l）点钉一枚钉子可以挡住细线，那么细线刚碰到钉子后对小球的拉力是多大？
（2）如果将钉子钉在y=的水平虚线上某位置，要求细线碰到钉子后能够绕钉子做圆周运动通过最高点，那么钉子所钉的位置的横坐标x应该满足什么条件？

Answer 1

（1）F=5mg（2）＜x≤ 或 ≤x＜

试题分析：（1）（4分）设摆到竖直时速度大小为v，悬线刚碰钉子后对小球的拉力大小为F，则由机械能守恒定律知mgh=½mv²?      r=l/2 ?，

由向心力公式得       F- mg = mv²/r ?，  联解???得  F=5mg
（2）（9分）设小球恰能通过最高点时绕钉子转动的半径为r′，在最高点的速度大小为v′，
则由向心力公式得 mg = mv′ ² /r′ ?（1分）   机械能守恒 ?（2分），
联解??得   ? （2分）
设这种情况下钉子的横坐标为x₁，则  ?    联解??得  ?
由于钉子必定在以O为圆心半径为l的圆内，设直线y=与该圆的交点横坐标为x₂，
则有 ，解得  ?  
所以要让小球能通过最高点做圆周运动，钉子在直线y=上，其横坐标必须满足
＜x≤ 或 ≤x＜ ?          （????共4分）
若未考虑?式限制结果写成“x≤或 ≤x 11”也算对，即写出??11也得4分。
点评：在分析圆周运动时，一定要弄清楚向心力的来源，以及运动半径的变化