Question

17．将一天的时间记为T_E，地面上的重力加速度记为g，地球半径记为R_E．
（1）试求地球同步卫星P的轨道半径R_p；
（2）一卫星Q位于赤道上空，赤道一城市A的人三天看到Q四次掠过上空，求Q的轨道半径．假设卫星运动方向与地球自转方向相同．

Answer 1

分析 1、由万有引力等于向心力列出等式求解轨道半径
2、卫星绕地球做匀速圆周运动，赤道一城市A的人三天看到Q四次掠过上空，求出周期关系，由万有引力等于向心力列出等式求解Q的轨道半径．

解答 解：（1）设地球质量为M，同步卫星质量为m，同步卫星周期等于T_E，由万有引力等于向心力得：
$G\frac{Mm}{R_P^2}=m{R_P}{（\frac{2π}{T_E}）^2}$
又：$G\frac{Mm}{R_E^2}=mg$，
联立解得：${R_P}=\root{3}{{\frac{gR_E^2T_E^2}{{4{π^2}}}}}$．
（2）根据题述，卫星Q的周期T＜T_E．假设每隔△T时间看到一次：
则$\frac{△T}{T}-\frac{△T}{T_E}=1$，
解得：$△T=\frac{{T•{T_E}}}{{{T_E}-T}}$．
考虑到三天看到四次的稳定状态，则有：$△T=\frac{3}{4}{T_E}$，
解得：$T=\frac{3}{7}{T_E}$．
又$\frac{{G{M_E}m}}{R^2}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}R$．
解得：$R=\root{3}{{\frac{9gR_E^2T_E^2}{{196{π^2}}}}}$．
答：（1）地球同步卫星P的轨道半径是$\root{3}{\frac{{{gR}_{E}^{2}T}_{E}^{2}}{{4π}^{2}}}$；
（2）Q的轨道半径是$\root{3}{\frac{9{{gR}_{E}^{2}T}_{E}^{2}}{19{6π}^{2}}}$

点评 解决本题的关键知道同步卫星的特点，掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能熟练运用．