Question

16．如图所示，一质量为m、电荷量为q的带电粒子从平面直角坐标系y轴上的A点进入第四象限内正交的匀强电场和匀强磁场中，粒子进入第四象限的速度为v，沿与y轴成30°角的直线运动并进入第一象限，进入第一象限后磁场不变，但电场由第四象限中水平向右的匀强电场E₁变为竖直向上的匀强电场E₂，沿圆形轨迹运动一段后从y轴上的C点水平进入第二象限，第二、三象限中没有磁场，电场与第一象限等大反向．已知重力加速度为g，求：
（1）E₁与E₂的比值；
（2）粒子从A点运动到x轴负半轴上D点的时间．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在第四象限做直线运动，由于洛仑兹力与速度有关，则可判定带电粒子是做匀速直线运动．由平衡条件可以求得电场力、洛仑兹力与重力的关系．而在第一象限做匀速圆周运动，那么两个恒力重力与电场力抵消平衡．从而求出第四和第一象限的电场强度之比．
（2）由带电粒子运动的对称性画出在三个象限的运动轨迹，由相应的运动学公式，分别求出各个过程的运动时间，从而求出从A点到D点的总时间．

解答 解：（1）粒子在第四象限做直线运动，受到重力、电场力和洛仑兹力作用．重力和电场力是恒力，洛仑兹力随速度变化，而粒子做匀速直线运动，由左手定则可知粒子带正电
根据平衡条件有：E₁qtan30°=mg
解得：E₁=$\frac{\sqrt{3}mg}{q}$
粒子在第一象限做匀速圆周运动，洛仑兹力完全提供向心力，重力与电场力平衡，有：
mg=E₂q
E₂=$\frac{mg}{q}$
所以有：$\frac{{E}_{1}}{{E}_{2}}=\sqrt{3}$
（2）由粒子在第四象限受力平衡有：qvBsin30°=mg
在第一象限做匀速直线运动，洛仑兹力提供向心力有：
qvB=$m\frac{{v}^{2}}{R}$
可得：R=$\frac{{v}^{2}}{2g}$
在第一象限时间为：t₁=$\frac{\frac{R}{tan30°}}{v}$=$\frac{\sqrt{3}v}{2g}$
在第二象限时间为：t₂=$\frac{1}{3}×\frac{2πR}{v}$=$\frac{πv}{3g}$
根据几何关系可得C点纵坐标为：R+Rsin30°=$\frac{3{v}^{2}}{4g}$
粒子在第二象限做类平抛运动，有：$\frac{3{v}^{2}}{4g}$=$\frac{1}{2}a{{t}_{3}}^{2}$
而加速度为：a=2g
在第三象限的时间为：t₃=$\frac{\sqrt{3}v}{2g}$
所以粒子从A点到D点的时间为：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{（π+3\sqrt{3}）v}{3g}$
答：（1）（1）E₁与E₂的比值为$\sqrt{3}$．
（2）粒子从A点运动到x轴负半轴上D点的时间为$\frac{（π+3\sqrt{3}）v}{3g}$．

点评 做好本题的关键是一是要弄清各个过程实质，这样才能由相应运动规律求时间，二是要注意细节问题，由于均未告诉A、C、D的坐标，所以只有求出粒子在第一象限的圆周运动半径，才能知道每一段的几何关系，也才能求出第一段时间．