Question

1．地面上有一个半径为R的圆形跑道，高为h的平台边缘上的P点在地面上P′点的正上方，P′与跑道圆心O的距离为L（L＞R），如图所示．跑道上停有一辆小车，现从P点水平抛出小沙袋，使其落入小车中（沙袋所受空气阻力不计）．若重力加速度为g，问：

（1）当小车分别位于A点和B点时（∠AOB=90°），沙袋被抛出时的初速度各为多大？
（2）若小车沿跑道顺时针运动，当小车恰好经过A点时，将沙袋抛出，为使沙袋能在B处落入小车中，小车的速率v应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）小车分别位于A点和B点时，沙袋从P点开始做的都是平抛运动，根据在竖直方向上的自由落体运动，可以求得运动的时间，根据水平方向上的匀速直线运动可以求得沙袋的初速度的大小；
（2）要使沙袋能在B处落入小车中，在沙袋落到B点时，小车要刚好到达B位置，小车可以是经过$\frac{1}{4}$圆周到达B点，也可以是经过整数个圆周之后再过$\frac{1}{4}$圆周到达B点，根据它们的时间相同可以求得小车速度的关系．

解答 解：（1）沙袋从P点平抛，则
  h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$       
得 t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$                    
当小车位于A点时，有 x_A=v_At=L-R
当小车位于B点时，有x_B=v_Bt=$\sqrt{{L}^{2}+{R}^{2}}$
解以上三式得  v_A=（L-R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$，x_B=$\sqrt{\frac{g（{L}^{2}+{R}^{2}）}{2h}}$     
（2）要使沙袋能在B处落入小车中，小车运动的时间应与沙袋下落时间相同
t_AB=（n+$\frac{1}{4}$）$\frac{2πR}{v}$（n=0，1，2，3…）（6）
且 t_AB=t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
解得v=$\frac{1}{2}$（4n+1）πR$\sqrt{\frac{g}{2h}}$（n=0，1，2，3…）．
答：
（1）当小车分别位于A点和B点时（∠AOB=90°），沙袋被抛出时的初速度各为（L-R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$和$\sqrt{\frac{g（{L}^{2}+{R}^{2}）}{2h}}$．
（2）为使沙袋能在B处落入小车中，小车的速率v应满足的条件是v=$\frac{1}{2}$（4n+1）πR$\sqrt{\frac{g}{2h}}$（n=0，1，2，3…）．

点评 本题是对平抛运动规律的考查，在分析第二问时，要考虑到小车运动的周期性，小车并一定是经过$\frac{1}{4}$圆周，也可以是经过了多个圆周之后再经过$\frac{1}{4}$圆周后恰好到达B点，这是同学在解题时经常忽略而出错的地方．