Question

7．如图所示，在摩擦因数为μ的平面上竖直固定一半径为R的光滑半圆槽轨道，其底端恰与水平面相切，质量为m的小球以一定初速度从A点开始向右运动，经半圆槽轨道最低点B滚上半圆槽，小球恰能通过最高点C后落回到水平面上的A点． （不计空气阻力，已知m=1kg  μ=0.25  R=$\frac{10}{6}$m  重力加速度g=10m/s²）求：
（1）小球通过B点时对半圆槽的压力大小；
（2）小球的初速度v₀．

Answer 1

分析 （1）对小球在B点时受力分析，根据牛顿第二定律求B受到的支持力，进而由牛顿第三定律得到B对圆槽的压力；
（2）小球恰能通过最高点C，即重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球在C点的速度，小球离开C点后作平抛运动，根据平抛运动的特点求出AB两点间的距离．根据动能定理即可求出A点的初速度．

解答 解：（1）则mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，v_C=$\sqrt{gR}$
在B点小球做圆周运动，
F-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
得：F=mg+m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
B到C的过程中机械能守恒，得：$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}+2mgR=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
联立得：${v}_{B}=\sqrt{5gR}$，F=60N
由牛顿第三定律知小球通过B点时对半圆槽的压力大是60N；
（2）在C点小球恰能通过，故只有重力提供向心力，
过C点小球做平抛运动：s_AB=v_Ct
h=$\frac{1}{2}$gt²　
h=2R
联立以上各式可得s_AB=2R．
由A到B的过程中摩擦力做功，得：$μmgs=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
联立上几式可得：v₀=10m/s
答：（1）小球通过B点时对半圆槽的压力大小是60N；
（2）小球的初速度是10m/s．

点评 本题关键是明确小球的运动情况，然后分过程运用平抛运动的分位移公式和向心力公式列式求解．