Question

一宇航员抵达一半径为R的星球表面后，为了测定该星球的质量M，做如下实验，取一根细线穿过光滑的细直管，细线一端栓一质量为m的砝码，另一端连在一固定的测力计上，手握细直管抡动砝码，使它在竖直平面内做完整的圆周运动．停止抡动细直管，砝码可继续在同一竖直平面做完整的圆周运动．如图所示，观察测力计得到，当砝码运动到圆周的最低点和最高点两位置时，测力计的读数差为△F，已知引力常量为G，试根据题中提供的条件和测量结果，求出该星球的质量M．

Answer 1

分析：在最高点和最低点分别对小球进行受力分析，找出向心力来源；再根据小球在摆动过程中机械能守恒可求出重力加速度；再由在星球表面，万有引力等于重力，就可解出星球的质量．

解答：解：砝码在最高点细线的拉力为F₁，速度为v₁，则：F1+mg=m

v 2 1

r

           ①
砝码在最低点细线的拉力为F₂，速度为v₂，则：F2-mg=m

v 2 2

r

              ②
由机械能守恒定律得：mg2r+

1

2

m

v

2 1

=

1

2

m

v

2 2

                             ③
由①、②、③解得：g=

F2-F1

6m

=

△F

6m

               ④
在星球表面，万有引力等于重力，G

Mm′

R2

=m′g    ⑤
由④、⑤解得：M=

△FR2

6mG

；
故星球质量为M=

△FR2

6mG

．

点评：本题是向心力公式，万有引力公式，机械能守恒定律的综合运用问题；要注意对小球受力分析，找出向心力来源，其中在最低点，合力为拉力减去重力；由于绳子拉力不做功，机械能守恒；根据重力加速度可求解星球的质量．