Question

12．如下图是阿毛同学的漫画中出现的装置，描述了一个“吃货”用来做“糖炒栗子”的“萌”事儿：将板栗在地面小平台上以一定的初速经两个四分之一圆弧衔接而成的轨道，从最高点P飞出进入炒锅内，利用来回运动使其均匀受热．我们用质量为m的小滑块代替栗子，借这套装置来研究一些物理问题．设大小两个四分之一圆弧半径为2R和R，小平台和圆弧均光滑．将过锅底的纵截面看作是两个斜面AB、CD和一段光滑圆弧组成．斜面动摩擦因数均为0.25，而且不随温度变化．两斜面倾角均为θ=37°，AB=CD=2R，A、D等高，D端固定一小挡板，碰撞不损失机械能．滑块的运动始终在包括锅底最低点的竖直平面内，重力加速度为g．

（1）如果滑块恰好能经P点飞出，为了使滑块恰好沿AB斜面进入锅内，应调节锅底支架高度使斜面的A、D点离地高为多少？
（2）接（1）问，求滑块在锅内斜面上走过的总路程．
（3）对滑块的不同初速度，求其通过最高点P和小圆弧最低点Q时受压力之差的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出滑块恰好到达P点的速度，根据速度方向与斜面AB平行，结合平抛运动的规律，运用平行四边形定则求出竖直分速度，从而得出AD离地的高度．
（2）根据平行四边形定则求出进入A点时滑块的速度，对全过程运用动能定理，求出滑块在锅内斜面上走过的总路程．
（3）根据牛顿第二定律分别求出P、Q的弹力，结合机械能守恒定律得出压力差，结合最高点的最小速度求出压力之差的最小值．

解答 解：（1）在P点 mg=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{2R}$，解得v_p=$\sqrt{2gR}$．
到达A点时速度方向要沿着AB，v_y=v_ptanθ=$\frac{3}{4}$$\sqrt{2gR}$．
所以AD离地高度为h=3R-$\frac{{v}_{Y}^{2}}{2g}$=$\frac{39}{16}$R．
（2）进入A点滑块的速度为v=$\frac{{v}_{P}}{cosθ}$=$\frac{5}{4}$$\sqrt{2gR}$，
假设经过一个来回能够回到A点，设回来时动能为E_k，
Ek=$\frac{1}{2}$mv²-4μmgcosθ•8R＜0，
所以滑块不会滑到A而飞出．    
根据动能定理得，mg•2Rsinθ-μmgcosθ•s=0-$\frac{1}{2}$mv²，
代入数据解得，1.2mgR-0.2mgs=-$\frac{25}{16}$mgR
解得滑块在锅内斜面上走过得总路程s=$\frac{221R}{16}$．
（3）设初速度、最高点速度分别为v₁、v₂，
由牛二定律，在Q点，F₁-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，解得F₁=mg+m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
在P点，F₂+mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{2R}$．解得F₂=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{2R}$-mg
所以F₁-F₂=2mg+$\frac{m（{v}_{1}^{2}-2{v}_{2}^{2}+{v}_{2}^{2}）}{2R}$．
由机械能守恒得，$\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}$mv₂²+mg•3R，
得v₁²-v₂²=6gR为定值．
代入v₂的最小值$\sqrt{2gR}$，得压力差的最小值为9mg．
答：（1）应调节锅底支架高度使斜面的A、D点离地高为$\frac{39}{16}$R；
（2）滑块在锅内斜面上走过的总路程为$\frac{221R}{16}$．
（3）通过最高点P和小圆弧最低点Q时受压力之差的最小值为9mg．

点评 本题主要考查了平抛运动、动能定理及机械能守恒、牛顿运动定律等基本规律的应用，综合性较强，对学生的能力要求较高，是一道好题．