题目内容
【题目】为了研究过山车的原理，某物理小组提出了下列的设想：取一个与水平方向夹角为
，长为
的倾斜轨道AB，通过微小圆弧与长为
的水平轨道BC相连，然后在C处设计一个竖直完整的光滑圆轨道，出口为水平轨道D，如图所示。现将一个小球从距A点高为
的水平台面上以一定的初速度v0水平弹出，到A点时速度方向恰沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下。已知小球与AB和BC间的动摩擦因数均为
。取
。
求：（1）小球初速度v0的大小；
（2）小球滑过C点时的速率vc；
（3）要使小球不离开轨道，则竖直圆弧轨道的半径R应该满足什么条件。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】
试题分析：（1）小球离开弹簧后做平抛运动到达A点，
竖直方向：由
可知
在A点的速度vA恰好沿AB方向，由几何关系可知：
水平方向分速度即小球的初速度:
（2）从A经B到C点的过程，由动能定理得：
小球滑过C点时的速率:
（3）①若小球能通过圆形轨道的最高点，做完整的圆周运动，则其不脱离轨道。
小球刚能通过最高点时，小球在最高点与轨道没有相互作用，重力提供向心力。
根据牛顿第二定律：
小球由C运动到圆形轨道的最高点，机械能守恒：
得：
，即轨道半径不能超过1．08m。
②若小球没有到达圆形轨道的与圆心等高处速度就减小到零，此后又沿轨道滑下，则其也不脱离轨道。
此过程机械能守恒，小球由C到达刚与圆心等高处，有：
得：
，即轨道半径不能小于2．7m。
③若圆形轨道半径太大，就会与倾斜轨道相交，故圆形轨道半径最大时恰遇倾斜轨道相切。
当圆轨道与AB相切时，由几何关系得：
，即圆轨道的半径不能超过1．5m。
综上所述，要使小球不离开轨道，R应该满足的条件是：
。
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